对于一个由偏微分方程描述的分布参数系统，人们关注的问题有：用以反映物理现象的模型的合理性，系统运动的渐近行为，边界值、初始值扰动下的稳定性问题等。 解的存在性是鉴定模型合理性的首要前提。4-阶椭圆方程的边值问题可用于描述飞机、轮船及建筑物的结构模型，在第二章中，利用经典的分析方法，如上、下解方法，辅助的截断函数，Schauder不动点定理，在一对上、下解存在的假设下，我们首先论证了解的存在性。然后，利用2-阶齐次边值问题的第一特征函数，构造出一对具体的上、下解，在更一般的条件下得到正解的存在性。当模型中右端的非齐次项存在奇异点，且此奇异点为系统的自然上解或下解时，上、下解方法不能直接运用，因此我们继续探讨了这种情形。通过构造一列辅助的边值问题，使其解序列收敛到原问题的解，克服了奇异性带来的困难，亦得解的存在性。 系统稳定性的概念，是用来刻划系统运动的渐近性质的。在第三章，本文考察了具有伪抛物特性的Sobolev-Galpern方程关于初始值扰动下的稳定性问题，即Lyapunov稳定性问题，论证了其平凡解的全局渐近稳定性。区别于相关的参考文献，我们应用著名的李雅普诺夫直接法确定系统是否稳定。首先，构造具有特殊结构的Lyapunov函数，得到解的先验估计；其次，借助Green函数将原方程等价变换成算子方程，Banach压缩映射的不动点定理保证了全局解的存在唯一性；最后通过常微分方程的定解，证明了主要结论，即平凡解全局渐近稳定。 第四章讨论了非线性形状记忆合金（SMA）模型的边界控制问题。SMA模型来自动能守恒定律，描述了一维形状记忆合金的马氏体相变。利用状态矢量空间方法，我们分别证明了系统中两个边界参数的可识别性，即解对边界的连续依赖性，得到实施边界控制的充分条件，为保证优化算法收敛提供了理论依据。