分圆理论可以追溯到Gauss时代,传统分圆理论最早在Gauss研究正n边形的尺规作图问题时得以考虑Gauss在1801年《算术研究》一书中,介绍了Gauss周期和分圆数.无论Gauss周期还是分圆数都与循环码密切相关.分圆理论在数论中应用也很广泛.近些年来,分圆理论已经应用在许多其他领域,如编码、密码学等.组合学也从分圆理论中获益颇多,例如可以通过分圆类中分圆数的计算,构造差集,进而构造出新的设计.本文第一部分介绍了剩余类环上一类统一的广义分圆,它以经典分圆、Whiteman分圆以及Ding-Helleseth分圆作为特例,讨论了在e=6及e=8时该分圆数的计算问题,并且利用计算得到的具体数值,构造了两类、四种情形下的渐进最优的集合差系统.1(1/2)设计的概念最初由Bose等人在1976年提出Neumaier在1980年定义了t(1/2)设计,并给出了t≥2时,t(1/2)设计的完全分类Duval在1988年最早将强正则图的概念进行推广,定义了有向强正则图.随后,Brouwer等人指出1(1/2)设计与有向强正则图之间存在着密切联系.因此,构造1(1/2)设计成为构造有向强正则图的有效工具之一本文第二部分介绍了1(1/2)设计的一些性质,并构造了一些新的1(1/2)设计.特别地,对k=3时,1(1/2)设计所有满足必要条件的参数进行分类,得到了k=3时,1(1/2)设计存在的充要条件.同时,给出了k=4时,一些特定参数的1(1/2)设计的存在性或不存在性.