【摘 要】
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John区域的概念是F. John在研究平面弹性理论时引入的.由于John区域与区域的多种度量有着密切关系,因此 John区域已经成为复动力系统、逼近论和弹性理论中的重要研究对象.201
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John区域的概念是F. John在研究平面弹性理论时引入的.由于John区域与区域的多种度量有着密切关系,因此 John区域已经成为复动力系统、逼近论和弹性理论中的重要研究对象.2013年, Willy由定义在单位圆B内的调和映射的Weierstrass-Enneper提升曲面提出了John曲面的概念.平面调和映照与 John曲面的研究和三维流形几何有直接关系,因此研究平面调和映射的Schwarz导数和满足一定条件的调和映射的Weierstrass-Enneper提升曲面与John曲面的关系,是几何函数论的重要课题. 全文共分为四个部分: 第一部分,预备知识.简要介绍了John区域和Schwarz导数等相关概念以及平面调和映照的发展历史与研究现状,并简单的介绍作者的主要工作. 第二部分,根据 Pokornyi关于解析函数的单叶性准则,结合二阶微分方程解的比较定理,讨论了当单位圆内的非解析调和函数的Schwarz导数、共形因子和高斯曲率满足一定条件时,这个调和函数的像域的提升曲面是John曲面. 第三部分,对于单位圆内的非解析调和函数,我们定义了新的共形因子,得到了新的Schwarz导数和高斯曲率,讨论了调和函数的提升映射的单叶性条件并得到了提升映射的两点偏差定理.
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