循环码是一类最重要的线性码，它具有严谨的代数结构，又具有循环的特性，从而性能易于分析，且编译码电路尤其是编码电路简单且易于实现，现今已发现的大部分线性码与循环码有密切联系，因此循环码特别引人注目，对它的研究也比较深入和系统化。剩余码是一类性质很好的循环码，大量的文献都对其进行了研究。当n很大时，在有限域Fq上分解xn-1是很困难的。很多学者研究二次剩余，三次剩余时，均是通过它们的幂等生成多项式来考虑剩余码。因此，如果能确定k次剩余码的幂等生成多项式，就可以直接讨论k次剩余码而不用分解xn-1。本文中，通过选择某p次本原单位根a，引入k次剩余码分布的定义，确定了p-1/k是偶数时F2上长度为p的k次剩余码的幂等生成多项式，同时给出了这些幂等生成多项式的性质。本文主要内容如下：　　1.利用Hensel提升引理，将F2上长度为p的三次剩余码C提升到Z4上，给出了上Z4上长度为p三次剩余码Q的定义，根据C的幂等生成多项式和Q的幂等生成多项式之间的关系，确定了Q的幂等生成多项式，并进一步讨论了这些幂等多项式满足的性质。　　2.根据前面得到的Q和Q⊥之间的关系，研究了Q的扩展码的对偶码的性质。　　3.选择某p次本原单位根a，引入F2上k次剩余码的分布的概念。利用反证法思想，通过考虑和式s(x)=∑0≤i