矩阵特征值反问题就是根据给定的谱数据重新构造矩阵,给定的谱数据可能由全部或部分特征值或特征向量组成。矩阵特征值反问题的解应该满足两种约束:一种是谱约束,即具有给定的谱数据;另一种是结构约束,即具有所要求的结构。约束条件不同,则得到不同的特征值反问题。 本篇博士论文研究了下面两个问题: 问题Ⅰ（约束特征值反问题）给定一个n阶方阵的集合S和一个实数α>0,给定矩阵Ζ∈F^n×k（k<n）和Α∈F^n×k,其中F表示实数域或复数域,求集合S的一个子集Φ（Ζ,Λ）使得 ΑΖ=ΑΛ,（?）Α∈（Ζ,Λ）,然后求集合Φ（Ζ,Λ）的子集Φ（Ζ,Λ,α）,使得集合Φ（Ζ,Λ,α）中的任意一个矩阵的所有剩余特征值都属于给定的闭圆盘D_α={z‖z|≤α,z∈C} 问题Ⅱ（最佳逼近问题）给定一个矩阵B∈R^n×n,求矩阵Α_B∈Φ（Ζ,Λ,α）使得 ‖B-Α_B‖=（?）‖B-Α‖,其中‖·‖是Frobenius范数。 本文的主要研究成果如下: 1.当F=C而且S是所有n阶实反对称矩阵的集合时,我们首先在实数域中给出问题Ⅰ的等价提法,然后得到了问题Ⅰ有解的充要条件和问题Ⅰ、Ⅱ解的表达式。 2.当F=R而且S是所有n阶双对称矩阵的集合时,问题Ⅰ中的给定闭圆盘被实轴上一个给定的闭区间[α,β]替代,其中α和β是两个给定的实数,而且α<β。根据双对称矩阵的特殊结构和特殊谱性质,问题Ⅰ与问题Ⅱ实际上可分解成两个具有较小阶数的实对称矩阵的同类子问题.我们得到了问题Ⅰ与问题Ⅱ的解,给出了求解问题Ⅱ的算法和两个例子.当S是所有n阶对称自反矩阵的集合时,我们类似地讨论了上述两个问题。 3.当F=R而且S是所有n阶对称次反对称矩阵的集合时,我们根据这类矩阵的谱性质合理地给出了问题Ⅰ的数学描述。通过运用对称次反对称矩阵的特殊结构和特殊谱性质,问题Ⅰ和问题Ⅱ转化为具有特殊结构的同阶实对称矩阵的同类问题,然后得到了问题Ⅰ与问题Ⅱ的解,并且给出了求解问题Ⅱ的算法和两个算例.当S是所有n阶对称反自反矩阵的集合时,我们类似地讨论了上述两个问题。