【摘 要】
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图上的游戏和匹配问题是图论研究的两个重要内容,它们不仅对认识图的性质和结构有重要作用,而且在计算机科学、组合最优化和信息论等方面有着广泛的应用.本文首先借助传统的组合博弈理论研究了两类图上的游戏,分别给出了这两类游戏的博弈结果和最优策略.然后,根据匹配覆盖图的性质和耳分解定理,对匹配覆盖图上的非可行边集进行分析,得到了关于匹配覆盖图上非可行边集的相关结论.主要研究内容如下:首先,研究了一类毛毛虫树
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图上的游戏和匹配问题是图论研究的两个重要内容,它们不仅对认识图的性质和结构有重要作用,而且在计算机科学、组合最优化和信息论等方面有着广泛的应用.本文首先借助传统的组合博弈理论研究了两类图上的游戏,分别给出了这两类游戏的博弈结果和最优策略.然后,根据匹配覆盖图的性质和耳分解定理,对匹配覆盖图上的非可行边集进行分析,得到了关于匹配覆盖图上非可行边集的相关结论.主要研究内容如下:首先,研究了一类毛毛虫树上的正常2-染色游戏.基于Sprague-Grundy函数的基本理论,通过将较大图上的正常2-染色游戏分解成若干个较小图上的正常2-染色游戏,对一类毛毛虫树上的正常2-染色游戏进行分析.计算得到该游戏中所有游戏位置的Sprague-Grundy函数值,并且给出了这一类毛毛虫树上的正常2-染色游戏的最优策略.其次,分析了图上可能产生平局的SOS游戏.基于位置游戏的基本理论,通过对游戏参与者所作决策的分析,分别得到路和环上的SOS游戏的博弈结果和最优策略.之后,研究了完全二分图上的SOS游戏,得到该游戏的博弈结果是平局,并给出了最优策略.最后,根据路和环上的SOS游戏的结论,得到Petersen图上SOS游戏的博弈结果是平局,并给出了最优策略.最后,研究了匹配覆盖图上的非可行边集.首先,证明了对于任意匹配覆盖二分图G=（V,E）,X（?）E是非可行的当且仅当X转换等价于空集,从而推广了 Lukot’ka和Rollova关于匹配覆盖图上非可行边集的结论.其次,对所有非可行边集转换等价于空集或E的匹配覆盖图进行分析,刻画了这类图的耳分解形式.最后,考虑He等人提出的关于3-连通r-正则图中非可行边集的问题.对于任意不小于3的整数r,构造了无限多个第一类r-连通r-正则的图,在这些图中,存在不转换等价于空集或E的非可行边集,从而对He等人的问题给出了否定的回答.
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