【摘 要】
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本文研究了高维情形下基于l0惩罚的稀疏主成分分析与稀疏线性判别分析.主成分分析和线性判别分析是常用的统计线性降维工具,在生物学、工程学和社会科学等各个领域中得到了广泛的应用.然而,当数据的维数逐渐增加,尤其是当维数超过观测值的数目时,这两种方法的效果会大大减弱.这是由于高维数据的协差阵可能是奇异的,常规算法在准确性上有所欠缺,最终导致不相合的估计结果.此外,它们都是原始变量的非稀疏线性组合,在高维
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本文研究了高维情形下基于l0惩罚的稀疏主成分分析与稀疏线性判别分析.主成分分析和线性判别分析是常用的统计线性降维工具,在生物学、工程学和社会科学等各个领域中得到了广泛的应用.然而,当数据的维数逐渐增加,尤其是当维数超过观测值的数目时,这两种方法的效果会大大减弱.这是由于高维数据的协差阵可能是奇异的,常规算法在准确性上有所欠缺,最终导致不相合的估计结果.此外,它们都是原始变量的非稀疏线性组合,在高维情况中往往缺乏解释性.为了解决上述估计结果的相合性以及可解释性问题,本文引入了稀疏主成分分析算法和稀疏线性判别分析算法,即考虑原始变量的稀疏线性组合.在这种情况下,主成分和判别向量的载荷中绝大部分都是0,这极大地增加了估计结果的可解释性.然而,现有的绝大多数算法都是基于l1或者l2惩罚,这不可避免地会造成了一些信息损失.本文通过直接求解基于l0惩罚的优化问题来得到稀疏的主成分和判别向量.本文基于l0惩罚与增广拉格朗日法相结合,提出了一个新的稀疏正交的主成分分析算法和稀疏线性判别分析算法.在稀疏主成分算法中,本文所提出的方法不仅保留了主成分载荷矩阵的正交约束,而且可以同时计算多个主成分,从而极大地提高了估计精度.在理论研究中,本文给出了估计量的极小极大化下界和上界.在稀疏线性判别算法中,我们使用组间方差矩阵的一个正定估计来解决矩阵奇异的问题,然后开发了一个高效的算法来计算稀疏判别向量.最后的数值模拟以及实际数据应用表明,我们所提出的方法可以得到更小的估计误差从而优于一些现有的方法.
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