正交配置法是一种被广泛应用于求解微分方程的方法，而小波由于具有分层性，时-频空间的局部性等特性，因而在此具有独特的应用价值。很多的微分方程经某种数值方法(包括正交配置法)离散后所得的线性系统的系数矩阵是非零元规则排列的大型稀疏矩阵(很多是非奇异H矩阵)。对此线性系统，可考虑使用迭代法来求解。为确保所用迭代法是收敛的，可以判定这个系数矩阵是否为非奇异H一矩阵；或者确定迭代格式的迭代矩阵的谱半径是否小于1。为此，本文主要就求解微分方程的样条小波正交配置法的构造与应用、非奇异H矩阵的判定和应用、矩阵谱包含域的确定等问题展开讨论，其具体工作主要包括： 1.对五次二重样条小波的快速插值算法，首先通过对偶小波讨论了它的奇性选择性质，进而根据这一性质，给出了一种求解微分方程的自适应半离散正交配置格式。该格式能自动检测出解函数具有奇性的区间，并在此进行网格加密和细分，从而网格点能自动集中在不光滑的地方。该格式同时也能较好地模拟出解微分方程解函数的边界。 2.把上述自适应快速插值算法与传统的交替方向隐式方法(如Peaceman-Randford格式、DyaKnov格式)相结合，得到一种自适应的求解二维抛物型方程的样条小波方法。该格式关于时间具有二阶精度。 算法分两步：在空间方向，首先生成张量积下小波网格，并应用一维的自适应格式进行网格点的自适应选择和加密；其次，在时间方向，求解ADI格式产生的方程组。 3.给出了非奇异H矩阵的四大类判定方法(充分条件)。这些方法完全根据矩阵的自身的元素给出，便于实现。同时这些方法也改进了目前一些研究结果的不足。 4.应用非奇异H矩阵的理论，首先获得了一类矩阵非奇异的新条件，进而对矩阵特征值的估计和定位，给出了一类新的带参数的Gerschgorin型包含域。 5.通过选择特殊的正对角矩阵类B，并对其中的每个矩阵x，将Gerschgorin圆盘定理应用于X<-1>AX，再取它们的交集，由此给出了一类包含矩阵A的特征值的最小Gerschgo血集。