本文的工作主要包括两个部分,第一是关于准晶的研究,另一部分是关于 当实二次数域类数为1时,判别式p≡1(mod4)的表达式。 已经有很多的准晶构造模型发表,其中最具代表性的是切割一投影方法。 但是不同的模型被提出是针对不同的物理性质,有不同的研究目的的。本文的 工作从一个更一般的观点,也就是不论准晶结构是由什么方法构造出来的,来 研究准晶的结构性质。得到的结论是：所有的准晶在适当建立的坐标系下,都 具有实二次代数数的坐标表示,从而得到在实二次数域上只可能存在具有5,8, 10,12次对称的准晶。这是本文第四章更一般定理的一个推论。由这个一般定 理可以得到,在全实代数数域上还可能存在很多不同对称性的准晶。作为一个 例子,我们在全实三次域上构造了具有7次对称性的准晶。 第二部分是关于当实二次域类数hQ(√p)=1时,素数p≡1(mod4)的一般表达 式的问题。我们得到了这个确定的表达式(除去有限个小于某个给定常数的素 数以外)。附录B列出了这些素数,以及一个简短的搜索这些素数的程序。 关键词： Quasicrystal, Quasilattice, Quadratic field, Total real number fields, Class number, Gauss conjecture.