近几十年来，非线性问题一直是数学、流体力学、电化学、经济学、工程学、动态系统的控制理论等诸多科研领域的研究核心.人们在寻求这些问题解决之道的过程中，逐步建立起现代分析学的一个重要研究体系--非线性泛函分析．它主要包括拓扑方法、半序方法及变分方法等内容．这些方法为解决各种复杂的非线性问题，奠定了夯实的理论基础．在1912年，L．E．J．Brouwer首先建立了针对有限维空间的拓扑度概念，1934年，J．Schauder和J．Leray推广了这一概念，并给出Banach空间全连续场的概念.在这之后，M.A．Krasnoselskii，K.Deimling，H．Amann等进一步完善拓扑度理论、锥理论等理论基础．在这期间，在非线性泛函分析的许多领域，张恭庆教授、郭大钧教授、孙经先教授等均取得了非常令人瞩目的成就（这方面的内容参见[1-15]）．　　 然而，随着科技的不断发展，人们发现从非线性问题建立起来的数学模型中所得到非线性微分方程的阶数不一定都是整数阶.如果微分方程的阶数可以取为分数阶，数学模型反而能更好地描述实际问题.鉴于非线性泛函分析的大部分理论可以应用于分数阶微分方程，近几年来，分数阶非线性问题逐渐成为人们研究的中心课题．1695年，M.LHospital首先提出分数阶微分的概念，随后，L．Euler，J．Liouville，J．L．Lagrange等都曾对分数阶微分进行了十分重要的研究．近十年来，I．Podlubny,A．A．Kilbas，H．M.Srivastava，J．J．Trujillo等进一步完善系统化分数阶微分理论（这方面的内容参见[16-29]）．　　 本文主要利用非线性泛函分析中的拓扑度理论和锥的相关理论，讨论了非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性以及多解等．文章结构安排如下：　　 第一章给出了分数阶微分与积分的定义，以及与分数阶微积分相关的一些定理.同时，在本章中给出了非线性泛函分析中的若干不动点定理.这些定义、定理是本文进行研究的基础．　　 第二章利用Schauder不动点定理和Krasnoselskii不动点定理的推广形式，研究了如下非线性分数阶微分方程的两点边值问题至少存在一个正解： u(0)＋u＇(0)=0, u(1)＋u＇(1)=0,(1.2)其中1＜α≤2是实数，CD(?)是Caputo分数阶导数，f：[0，1]×[0，+∞)×(?)→[0，+∞)是连续的.　　 第三章利用Leray-Schauder不动点定理，研究了如下非线性分数阶奇异微分方程的三点边值问题至少存在一个正解：其中D是标准的Riemann-Liouville分数阶导数，并且α，β,γ，a，ξ，f满足如下条件：(H1)1＜α＜2,0＜β＜1,0≤γ＜1,0≤a≤1,0＜ξ＜1, aξα-γ-2≤1-γ，0＜α-γ-1，0≤β+i-α．(H2)f：(0，1)×[0，+∞)×(?)→[0，+∞)关于LP[0,1](p≥1)满足Carathéodory条件．　　 第四章利用不动点指数理论，研究了下面非线性分数阶奇异微分方程的m点边值问题至少存在两个或者三个正解：是连续的，f（t，u）在u=0处奇异，并且CD(?)是Caputo分数阶导数．