化学图论是研究图论与量子化学相互交叉、相互渗透的一门新学科分支。分子图的距离的拓扑指数(例如Wiener指数和Harary指数等)是化学图论中主要研究内容,因为它能够揭示分子结构的化学性质和图的结构特征。本论文主要研究分子图的拓扑指数(包括Wiener指数和Harary指数以及它们的各种变形和推广等)与反映图的其他结构特征的不变量(例如直径,度序列,匹配数,最大或最小度,边数等)之间的内在关系,并且刻画拓扑指数达到极值的对应所有极图。本论文主要研究内容如下:第一章介绍了拓扑指数的研究背景、预备知识和本文主要的研究工作。第二章首先分别研究并得到固定阶数和直径的树的terminal Wiener指数的上界和下界,并刻画了达到上界和下界的所有极图。另外,我们还研究了给定阶数和最大度的树的terminal Wiener指数,给出了该条件下具有最大terminal Wiener指数的极值图的性质及极图。其次,纠正[45]中的错误,给出广义Bethe树的Wiener指数计算公式,利用这些公式,推出广义Bethe树的terminal Wiener指数计算公式,同时,利用移接变形的方法刻画给定阶数和最大度的树的最小terminal Wiener指数,并得到达到下界的所有极图。第三章借于一些图的不变量,例如Wiener指数和子树个数相应的局部函数关于树的中心部分和比率极值结构问题的研究,我们首先考虑可加参数看作局部函数时的上述类似问题,即探讨可加参数关于树的中心部分及比率极值结构,并将这些结果推广到某些特殊的局部函数,如Wiener指数的局部函数和树的平均hook-length上。其次,研究hyper-Wiener指数(WW(G))的局部函数wwG(v)=∑u∈V(G)(d2(u,v)+d(u,v))(v∈V(G))的性质,在Wiener指数W(G)的局部函数研究基础上,得到了部分hyper-Wiener指数局部函数的新结果,并提出关于树中心部分和局部函数比值wwT(w)/wwT(u)和wwT(w)/wwT(v)的有关问题和猜想。第四章利用Tutte-Berge公式,研究基于图的距离、图的度和图的边度的三类广义的图的拓扑指数与图的匹配数之间的关系。给出了这些拓扑指数的上界或者下界,并刻画出相应的所有极图。这个结果推广了已有关于Wiener指数及各种变形,Harary指数等相关结果。第五章着重讨论两个图的四种变换后所得到的F-sums图的第一和第二Zagreb指数与原来的图的第一和第二Zagreb指数之间关系,得到它们之间显性的数学表达式,最后讨论它们在化学图论中的应用。