矩阵作为基本的数学工具,其本身具有丰富的研究内容.在概率统计,优化领域,数值分析等学科中矩阵的应用都十分的广泛.而在矩阵的理论研究中,有关Hermite矩阵的不等式和2×2分块矩阵秩的不等式的研究无疑是非常重要的.本文是在学习矩阵分析、矩阵不等式及矩阵专题理论等相关课程之后,在吸收和借鉴诸多专家学者科研成果的基础之上完成的,主要通过分析研究Hermite矩阵特征值和奇异值的性质及一类2×2分块矩阵秩的性质,进而主要讨论Hermite矩阵特征值和奇异值的不等式以及一类2×2分块矩阵秩的不等式.全文共分四章,主要内容如下：第一章主要介绍本文中将要用到的一些数学符号,定义以及几个引理.首先介绍了Hermite矩阵,正定矩阵,半正定矩阵,酉矩阵,矩阵的相似,矩阵的特征值,矩阵的奇异值,广义逆等概念；其次介绍了几个重要的与本文密切相关的定理.第二章研究了Hermite矩阵的特征值与矩阵变换的关系,得到了一些有关Hermite矩阵特征值的不等式.第三章首先研究了一类半正定矩阵的性质；其次给出了两个正定和半正定矩阵满足一定条件的同时一致对角化的有关结论；最后利用相关引理得到了正定和半正定矩阵奇异值不等式.第四章利用Schur补的方法及广义逆的有关知识,主要给出了一类2×2分块矩阵秩的不等式及一个关于秩的扰动不变性的等价条件.