不定方程作为数论的一个分支,它有悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指,解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组,一般来说,其未知数的个数多于方程的个数。它与代数、组合数学、计算机科学等有着密切联系。从而很多学者对不定方程有着很高的兴趣。本文主要工作在于利用代数数论中,二次域的有关理想、类数等相关知识,讨论了以下不定方程：一、讨论了不定方程x2+D=4y5(D=15,23,39,43,67,71)整数解问题,并且证明了：(1)不定方程x2+43=4y5无整数解(2)不定方程x2+67=4y5无整数解(3)不定方程x2+15=4y5无整数解(4)不定方程x2+23=4y5无整数解(5)不定方程x2+39=4y5无整数解(6)不定方程x2+71=4y5无整数解二、讨论了不定方程X2+C=yn(n=3时C=11,C=19；C=4n；当n=5,C=4；)的整数解的问题,并证明了：(1)不定方程x2+11=y3的整数解仅有(x,y)=(±4,3),(±58,15)。(2)不定方程x2+19=y3仅有整数解(x,y)=(±18,7).(3)不定方程x2+4n=y3n∈N,x=0(mod2),x,y∈Z,n≥3)仅有整数：(x,y,n)=(0,4k,3k),(±2×8k,±2×8k,3k+1)(±2×8k,±2×8k,3k+1,),k∈N,k≥1(4)不定方程x2+4=y5无整数解。