近十多年来，谱方法蓬勃地发展起来。它为数值求解偏微分方程提供了又一强有力的工具。其主要的优点是高精度，从而被广泛应用于计算流体力学、数值天气预报、化学反应数值模拟和生物学计算等领域。已有的谱方法多适应于有界区域上的非奇异问题，但许多实际问题是奇异问题或无界区域问题。这类问题的主要困难是解的奇异性和区域的无界性。因此，探索有效的高精度数值算法成为当前国际上谱方法研究的热点和难点。 本文将利用Jacobi多项式或以Jacobi多项式零点为节点的插值基函数来逼近奇异解，并建立有关的新的带权函数空间投影理论、Jacobi-Gauss型求积和Jacobi插值逼近理论，这些构成了Jacobi谱方法和拟谱方法（包括一维和多维）的理论基础。这一方法被应用于奇异问题的数值解。同时，又能求解无界区域问题。事实上，通过适当的变量代换，我们可把无界区域问题转化成某些特定的退化系数的有界区域上的奇异问题。 另一方面，在极坐标或圆柱坐标下，轴对称区域问题也表现某类奇异问题。本文在建立Jacobi谱方法和拟谱方法数值分析理论的基础上，数值求解这三类问题。考虑了一维和二维的线性方程和非线性方程，并汪明了相应的Jacobi谱格式和拟谱格式的稳定性和收敛性。同时，通过选取适当的Jacobi基函数，使离散格式得到的线性方程组的系数矩阵稀疏、对称。从而，使5 11anghai University Doctoral Dissertatio.1（2000）Jacobi谱方法在实际应用中更加有效。数值结果证实了理论分析的结果，也显示了这一方法的优越性。 本文针对奇异问题数值解进行研究，同时，为解决无界区域问题、轴对称区域问题及工程计算中众多困难问题提供了新的有效工具。Jacobi谱方法和拟谱方法数值分析理论的研究极大地丰富了现有谱方法的理论基础，同时将发展泛函分析、数值逼近论和偏微分方程数值解的相关理论。