Gauss超几何函数F(a,b;c;z)在特殊函数中具有极为重要的地位,因为它与许多其他类型的特殊函数相关。众所周知,超几何函数F(a,b;c;z)的性质和Γ-函数、ψ-函数以及B-函数密切相关。在对超几何函数F(a,b;c;z)、广义椭圆积分κα(γ)、εα(γ)以及广义模方程的解(p)κ(α,γ)等特殊函数分析性质的研究中,经常用到Ramanujan常数R(α).因此,对于Gauss超几何函数F(a,b;c;z)及相关特殊函数性质的研究具有重要的意义。　　 本文由四章构成。　　 在第一章中,我们介绍了特殊函数和Ramanujian模方程的发展历史和研究现状。　　 在第二章中,首先,我们给出了Γ-函数、ψ-函数以及B-函数的几个性质。然后,通过揭示Ramanujan常数R(α)与某些初等函数的组合的单调性和凹凸性,获得了R(α)的一些性质,并改进了R(α)所满足的一些由初等函数表示的不等式。　　 在第三章中,我们深入研究了Gauss超几何函数F(a,b;c;z)的分析性质和关于参数的扰动性质,从而获得了超几何函数的一些不等式和性质。　　 在第四章中,我们研究并获得了第一类完全椭圆积分κ(γ)、广义Gr(o)tzsch环函数μα(γ)、广义模方程的解(p)κ(α,γ)以及广义偏差函数ηκ(α,t)的一些分析性质。