多次自适应最小二乘曲线拟合方法及其应用

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在工程中,常需要从一系列带误差的实测数据[(xj,yi);i=1,2,…,m]中得到自变量x与y间的函数关系.最常见的x和y是单一的线性关系,这种情况很容易得到满意的线性关系式,但在对于非线性关系的大多数情况下,很难得到简单易解的解析函数式.一般利用实验数据的基本特性,用特定的回归或者拟合法去寻求一个近似解析函数式子,比如常见的多项式函数式,利用“拟合”出的函数曲线虽然不能保证通过所有的样本点,但它能很好地“逼近”它们,能充分反映已知数据间的内在数量关系,并为后期数据的分析带来极大的便利,比如数据的微积分性质等.通过采用一组简单合适的、线性无关的基函数(幂函数、指数函数、对数函数、特殊函数等)来逼近观测数据,可以有效地获得最小平方误差最小的拟合函数f(x),其中最小二乘法是解决此类问题的最常用方法.该方法是利用误差的平方和最小,得到一个线性方程组,再利用线性方程组的求解方法获得拟合曲线.最小二乘法由勒让德创立,最早出现在他1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中.他考虑误差在整体上的平衡,描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点.高斯较之于勒让德把最小二乘法推进得更远,他由误差函数推导出这个方法并详尽阐述了最小二乘法的理论依据.对于最小二乘曲线拟合法的发展,如今有很多方法,比如移动最小二乘法,分段最小二乘法,正交最小二乘法等.对于具有多个显著局部特征的试验观测数据,常规的方法是在全局定义域上应用一组基函数(比如多项式)来拟合,这种方法快捷容易实现,但是会得到性能较差的拟合函数.基于间接平差原理详细推导了相关模型和公式,实例计算结果表明,采用正交最小二乘法,曲线拟合效果总体上优于普通最小二乘法.分段曲线拟合的方法,是在每段区间上进行局部最小二乘拟合,然而,拟合函数在区间分段点上不一定连续,在相邻区间边界附近的拟合效果不理想.采用多项式基函数的全局连续拟合方法,但只限于2个分段区间.移动最小二乘法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其函数,而是由一个系数向量和基函数构成.常规最小二乘法系数向量是个常数而移动最小二乘法不是常数,而是自变量x的函数.本文在前人的基础上,提出了一种自适应多次最小二乘迭代拟合方法.该方法是一种全局拟合迭代法,在做数据拟合前首先要对原始的数据进行多次的重构,这主要包括数据平移、数域转换、数据再平移、数据伸缩、对拟合后的数据再进行反重构等一系列操作.重构后的数据通过不同多项式次数的表达式去拟合实测数据,每次迭代时修正偏移拟合曲线比较大的数据,而其他拟合较好的数据值不改变,这样就保证了所有数据的误差偏移量大小的特性.经过多次的迭代,直到迭代误差很小时,终止迭代,然后再比较不同次数多项式的拟合次数、修正量和终止误差来判别最稳定的拟合多项式为最佳的拟合结果.通过模型算例和实测资料的测试,算法稳定,能较好地回归实测数据,特别是对于存在较大的误差的实测数据有较好的结果.该方法已经应用到多个科研项目的原始数据的处理,效果优于常用的数据拟合方法.自适应的多次最小二乘拟合算法在寻求最佳多项式次数时计算量较大,因为要计算每个次数的多项式,而且是多次迭代计算,所以比较耗时,因而快速寻求最佳的多项式次数是需要进一步研究的方向.
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