本文研究了有关半鞅的极限定理和统计推断．　　 其一，我们得到局部平方可积鞅，特别是纯断局部平方可积鞅可以被一个高斯鞅强逼近．我们不仅给出强逼近的一致速度，而且还在极限过程高斯鞅中允许出现跳，且逼近程度是由跳过程刻画的.　　 其二，我们得到了关于causal过程部分和泛函的弱收敛定理．我们结合了鞅收敛方法和对于causal过程的鞅差逼近的方法，证明了比Ibragimov和Phillips(2008)更加一般的结果.我们还给出了该结果在单位根自回归理论中的一个应用．　　 其三，我们得到了独立同分布重尾随机变量的部分和过程泛函的弱收敛定理.我们利用修正后的鞅收敛方法，结合随机微积分技巧得到了该结果.我们的方法还弥补了点过程方法在研究重尾随机变量收敛性质时的不足.　　 其四，我们对带跳扩散过程的经验似然推断进行了讨论.基于经验似然方法，我们可以针对带跳扩散过程的各项系数构造置信区间．这种置信区间的性质要比基于渐近正态性构造出来的置信区间要好．　　 最后，我们给出了二阶扩散模型漂移系数和扩散系数的局部线性估计量，并且在比较宽松的条件下，得到了局部线性估计量的弱相合性.我们又利用了简单的蒙特卡洛实验，对我们的结果进行了模拟验证.