【摘 要】
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大气污染物的扩散过程可以通过对流扩散方程进行模拟,于是可以构建与污染物的扩散过程契合的数学模型,然后通过科学计算获得污染治理所需的关键参数,这对于大气污染治理具有非常重要的应用价值.本文基于一类二维多层对流扩散方程模型,开展初边值问题及参数反演问题的数值方法研究.对于初边值问题（正问题）,本文分别使用基于物理信息的神经网络（PINNs）算法和经典的Crank-Nicolson差分格式进行了数值求解
【基金项目】
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国家自然科学基金项目（11871435）；
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大气污染物的扩散过程可以通过对流扩散方程进行模拟,于是可以构建与污染物的扩散过程契合的数学模型,然后通过科学计算获得污染治理所需的关键参数,这对于大气污染治理具有非常重要的应用价值.本文基于一类二维多层对流扩散方程模型,开展初边值问题及参数反演问题的数值方法研究.对于初边值问题（正问题）,本文分别使用基于物理信息的神经网络（PINNs）算法和经典的Crank-Nicolson差分格式进行了数值求解,并将这两种算法进行对比分析.在PINNs算法中,将偏微分方程中微分形式的约束条件嵌入到损失函数,再通过极小化损失函数以优化神经网络,从而获得正问题的数值解;Crank-Nicolson差分格式中使用网格做剖分,用差分代替导数,迭代获得正问题的数值解.两种算法的数值模拟结果显示,PINNs算法的收敛速度虽然更慢,但具有更高的信息使用效率,即达到相同计算精度时PINNs算法所需的样本点个数更少.对于参数反演问题（反问题）,本文分别使用PINNs算法和经典的BayesMCMC算法对方程中的未知扩散系数进行反演,并将这两种反演算法进行对比分析.PINNs算法中,反问题的损失函数利用了观测点的附加测量值,通过最小化损失函数反演出未知扩散系数;Bayes-MCMC算法结合了Bayes原理和MCMC抽样方法,最大化后验概率密度函数从而获得未知扩散系数的估计.两种算法的数值模拟结果显示,PINNs计算速度虽然更慢,但计算精度更高,对噪声的敏感性也更低.本文研究了PINNs算法在求解对流扩散方程正问题与反问题中的应用,并将PINNs算法与经典的计算方法进行比较,总结了PINNs算法的特征和优缺点.本文最后总结了主要的研究内容,并提出了若干未来值得深入研究的方向.
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