玻尔兹曼方程是统计物理和气体运动理论中的主要模型之一，它描述了稀薄气体的密度分布函数的演化.当我们考虑系统中微观粒子的量子效应时，经典玻尔兹曼方程就不足以描述系统的动力学性态，我们必须考虑量子玻尔兹曼方程，其应用背景包括半导体器件设计问题、低温气体凝聚问题等等.在本文中，我们考虑带谐振子势的稀薄波色子和费米子气体系统.系统中的粒子密度分布函数的演化由一类半离散的量子玻尔兹曼方程刻画.这个模型来自物理文献，由量子场论中的多粒子系统的薛定谔方程导出.由于量子效应，分布函数，即方程的解，关于能量变量是离散的.虽然此类方程已经由物理学家导出，但是在数学领域是新颖的，其数学性质如解的存在性，稳定性与大时间行为等到目前为止尚无人考虑.本文研究了方程的解的存在唯一性以及大时间行为，并且给出了平衡态的分类.主要结果有几个方面：首先，我们通过求解平衡态方程与矩方程，分别得到了玻色子和费米子的平衡态的分类.由于离散模型的平衡态为离散数列，平衡态方程和矩方程与连续模型有巨大的区别，特别是矩方程的可解性产生了新的困难.于是我们引入整体反函数定理，以此克服证明矩方程的可解性的困难.其次，我们引入带权的l1空间为解空间，利用压缩映像定理以及质量和能量守恒，证明了方程的解的整体存在唯一性.然后通过构造一列严格大于零的函数逼近方程的解，并且利用收敛性论证，证明了解满足熵等式.最后，我们给出了几个熵不等式与方程的解的矩估计.我们证明了在初值高阶矩有界的条件下，解的高阶矩虽然增长，但是平均距一致有界.然后利用这些熵不等式和矩估计，以及解空间的紧性，证明了解强收敛到平衡态.