【摘 要】
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作为经典的Schur代数的量子化,q-Schur代数是二十多年来代数学研究的重要对象,在许多方面有重要的意义.q-Schur代数可以作为Hecke代数作用在适当的模上的中心化子,或作为量子
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作为经典的Schur代数的量子化,q-Schur代数是二十多年来代数学研究的重要对象,在许多方面有重要的意义.q-Schur代数可以作为Hecke代数作用在适当的模上的中心化子,或作为量子一般线性半群的坐标双代数的齐次分量余代数的对偶代数,也可以作为一般线性李代数的量子包络代数的同态像.参看[6].杜杰和B.Parshall [21]给出了q-Schur代数的单项式基.当参量q是奇次本原单位根时,杜杰、付强和王建磐[19]定义了小q-Schur代数uk(n,r),它是量子包络代数有一个有限维子代数(见[32])的同态像.文[19]并给出了在奇次本原单位根时uk(n, r)的BLM基、单项式基和PBW基.付强在文[23]中,把小q-Schur代数的定义推广到了任意单位根,给出了小q-Schur代数在偶次本原单位根下BLM基和PBW基,但是关于偶次本原单位根下uk(n,r)单项式基,只给出了一个猜想,同时还给出了关于偶次本原单位根下小q-Schur代数的零部分uk(n, r)0单项式基的类似猜想.杨群广[37]证明了付强关于uk(n, r)的猜想在n=2时成立,关于uk(n, r)0的猜想在n=2,3时成立.本文证明关于uk(n,r)0的猜想.通过仔细分析小q-Schur代数的基的索引集合,对此集合进行恰当的排序,建立起已知的PBW基和拟证的单项式基之间的过渡矩阵,通过对n用数学归纳法,证明了此过渡矩阵有非零的行列式,从而证明了付强关于uk(n,r)0的猜想对任意的n都成立.
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