概率论是研究随机现象的一门学科,它起源于赌博问题的研究,随着学科的不断发展和完善,如今作为数学的一个重要分支,在物理、经济、通信等各个领域都有所应用。而在概率论中,Borel-Cantelli引理有着比较重要的地位,尤其是应用于极限理论的证明,典型如Kolmogorov强大数定律。众所周知的是,概率论中事件的独立和条件独立不能相互推出,因此许多在独立时得到的定理并不能显然地推广至条件的情形,所以研究条件下的Borel-Cantelli引理有着重要的意义。本文组织结构如下,首先是第一部分即绪论部分,介绍了研究背景外以及与研究内容相关的一些基础知识,给出传统Borel-Cantelli引理的三种表示。第二部分得到的是一些数量关系上的引理,然后由此推出和事件条件概率的上下限。第三部分是本文的重点,它给出了几个条件Borel-Cantelli引理,包括由和事件条件概率的上下限推出条件Borel-Cantelli引理,传统Borel-Cantelli引理的第三种表达形式的一个推广,动力系统中的条件Borel-Cantelli引理以及对Borel-Cantelli引理的第一部分的推广。而第四部分则是第三部分的具体应用,它讨论了一组随机变量最大值的极限,并给出了一个定理和几个例子从直观上来具体说明该定理的重要性。第五部分也是第三部分的应用,在此部分,我们首先给出了一个条件Kolmogorov不等式,再根据这个不等式,讨论随机变量之和的敛散性。