论文部分内容阅读
微分方程已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力工具,在科技和经济的发展过程中,越来越多的实际课题都可以建立关于四阶或者更高阶的常微分方程数学模型.经典的Fisher-Kolmogorov(FK)’方程为1988年,Dee and Van Saarloos在研究双稳态物理系统时建立了Extended Fisher-Kolmogorov(EFK)[2]方程1977年,Swift and Hohenberg在研究流体的不稳定性时建立了Swift-Hohenberg(SH)[3]方程人们感兴趣的是以上方程的驻波解,如果引入适当的变量变换上述方程可简化为下述四阶常微分方程当p>0时,方程即为EFK方程；当p<o时,方程则为相应的SH方程.本文主要是对下述更一般的四阶半线性常微分方程2T-周期解的存在性进行研究,其中A,B是常数,V(t,u)∈C~1(O,T]×R,R)具有以下性质：(HO) V(t,O)=O,v(t+2T,u)=V(t,u),V(t,-u)=V(t,u),(?)t,∈[o,T],u∈R.(H1)2V(t,u)-uV_u,(t,u)→-∞,|u|→∞,t∈[O,T],或2V(t,u)一uV_u(t,u)→∞,|u|→∞,t∈[O,T].假设ū＝ū(t)为边值问题的解,那么在区间[-T,T]上作奇扩充根据条件(HO),ū=ū(t)在R上进行2T周期扩充即可得到方程(工)的2T-周期解.为了研究边值问题(P)的解的存在性,我们将其转化为讨论泛函的非平凡临界点的存在性,研究空间为X(T)=H~2(O,T)∩H10(O,T).此泛函的临界点即为边值问题(P)的经典解.本文内容安排如下：第一章是引言,介绍了本文的研究背景、研究内容和相关研究综述；第二单足预备知识,介绍了临界点理论的相关定理内容；第三章是针对A>O,B>O,A>O,B<O,A<O,B>O,A<O,B<O这四种情况,分别应用临界点理论中的直接变分法,由路定理,Brezisand Nirenberg型环绕定理和Silva型环绕定理证明上述泛函的非平凡临界点的存在性,进而得到相应的微分方程的周期解的存在性.