本篇论文讨论了一类非面传递的弧正则地图。论文中将这类地图记为M2。一般的,一个地图M的自同构是保持地图各个组成部分间的关联关系的旗集上的置换。所有这些置换在置换复合下形成M的自同构群Aut(M)。一个地图的重要性质是Aut(M)总是旗集上的半正则置换群。如果Aut(M)在地图的弧集上也是正则的,则该地图被称为弧正则地图。本文的第一个重要结果是每个弧正则地图都有一个陪集表示,即它的基本成分可以通过其自同构群G来构造,即地图的点,边以及面可以由一些群G的子群的陪集表示。根据G的边稳定子的作用,弧正则地图可以被进一步分为两类:面传递地图和面不传递地图。我们用M2表示第二类弧正则地图。通过将地图的点,边和面视为支撑曲面S三角剖分的0维胞腔、1维胞腔和2维胞腔,每个地图都具有Euler示性数。本文旨在研究Euler示性数为负素数的M2的分类,并通过对M2地图的陪集表示,将对其的分类刻画问题转化为了对具有特定性质群的分类问题。一个弧正则地图的Euler示性数r对其陪集表示对应的群G的Sylow子群有很大限制,如果r整除|G|,则G的每个Sylow p-子群包含指数为p的循环子群或二面体子群,而如果r不能整除|G|,则G的每个Sylow子群都是循环群或二面体群。本文对这两种情况分别进行了讨论。如果弧正则地图具有Euler示性数r≠2,则Euler公式表明我们的地图此时必然是不可定向的,这将使其自同构群的偶数字子群成为地图的整个自同构群。在许多情况下,我们通过考虑偶字子群的指数来确定地图是可定向的还是不可定向的。在r不能整除|G|的情况的讨论中,本文基于Gorenstein和Walter关于具有二面体Sylow 2-子群的群的结果,给出了可以通过陪集表示构造M2类型地图的群的结构。MAGMA为数学家们提供了一个计算代数对象的非常强力的工具。在本篇论文对上述情况的讨论最后,一些例子就通过MAGMA的强大的计算能力给出。最后,对r整除|G|的情况,基于由三个二面体稳定子群的阶和|G|/r组成的4元数组的有限个解,本文给出了在全等意义下不等价的七个M2类地图。我们省略了对陪集表示中有一个稳定子群同构于C2 × C2的M2类地图的讨论,因为这意味着其自同构群的两个生成对合交换,导致M2的陪集表示退化为一个正则地图的覆盖。同时这也是本篇文章区别于正则地图的研究的分歧之一,在对正则地图的研究中,所关注的群是一般三角群的商群,在正则地图的欧拉示性数为负的奇素数的情况下,其自同构群可以分解为地图的两个稳定子群的乘积,这是一种非常特殊的情况,而M2弧正则地图的自同构群失去了这个性质。群的概念在19世纪由Galois提出,从那时起,抽象代数就成了一个重要的数学工具。而图论是一个更加古老的数学理论。Leonhard Euler在1736年关于Konigsberg的七桥问题的论文被认为是图论历史上第一篇论文。为了说明地图,图的概念是必要的,即本篇论文中讨论的地图的底图,但不限于简单图。一个图Г由一个顶点集V(Г)和一个边集E(Г)组成,其中边集由顶点集的(无序的)二元对组成。一个图的自同构是保持点的邻接关系的顶点集上的置换,即一个Sym(V(Г))的子群。一些著名的的图有着很强的对称性,这些对称性藏在了图的自同构群中,于是有的数学家意识到了图和群的关系。因此一些运用代数方法来研究对称图成为了一个图论中非常庞大又重要的部分,这些理论被归到代数图论中。群论是图论中构造图的非常重要的工具,而相反的,因为一些代数图论的工具,群论也得到了发展。比如许多的群也是在研究图的时候发现的,这些也为有限单群的分类定理提供了帮助。许多著名的图也是由代数工具构造出来的群作为一个反映对称性的一个代数对象,在研究具有对称性的图过程中发挥了巨大的作用。最著名的两类由群构造的地图是Cayley图和陪集图。一个Cayley图Cay(G,S)是一个顶点集定义为G,边集定义为{(g,h)|hg-1∈S}的地图,其中S是群G的一个子集。此时群G可以自然的右乘作用在图的顶点集上,因此它是一个图的自同构群,同时是正则的。反之,一个图可以成为一个Cayley图的条件是它的自同构群中包含一个正则的子群。陪集图是一种更一般的构造方式,由Gert Sabidussi给出。给定群G,其的一个子群H和其一个子集S,陪集图Cos(G,H,HSH)的顶点集定义为[G:H],两个点Hx,和Hy定义图的一条边当且仅当yx-1 ∈S。群G通过右乘作用作用在顶点集上是传递的。并且有定理保证每个弧传递图都是陪集图。即如果图Г是G-弧传递的,则Г=Cos(G,H,HgH),其中g2∈H。在1985年以前,我们只能找到最多13个点的点传递图的表(除了 12个顶点,度为5的情况),还有利用矩阵工具做出来的不超过19个顶点的点传递图的表。顶点个数为20,21,22或者23的点传递图由McKay与Royle构造出来。受到陪集图的构造方式启发,我们可以得到利用陪集去构造有重边的图方法。给定一个群G,其子群H和S。图的顶点集和边集分别定义为[G:H]和[G:S]。图的一个顶点Hx和一条边Sy邻接当且仅当yx-1∈SH。可以验证这样定义出来的顶点集和边集可以构成一个图,即一条边恰好和两个点相邻接,并且一条边e的重数可以由[Gαβ:Gαe]确定,其中α和β是与边e相邻接的两个点。本篇论文中对于弧正则地图的构造也是受此构造方法的启发。地图的一个旗定义为一个由顶点,边和面组成的三元组。因为地图的自同构群总是旗集上的半正则群,于是自同构群的阶数至多为4|E|,其中E是地图的边集。由于地图的自同构群的阶数的大小反映了地图的对称性的高低,在自同构群的阶达到最大,即4|E|时,地图具有最高的对称性,我们称这类地图为正则地图。一种构造正则地图的常用方法是通过地图M的Monodromy群Mon(M)。Mon(M)由对换同一条边上的三个旗的对合生成,其中两个是交换的。置换群的理论告诉我们当我们的地图是正则的,则地图的自同构群Aut(M)即为Mon(M)在旗集的对称群中的中心化子,此时它同构于Mon(M)。对于这样的群,它们有一个名称叫一般三角群,值得注意的是此时它的三个生成对合中有一对是交换的。纯粹的正则地图很早就成为了数学家们的研究对象。由于地图自然的给出了其支撑曲面上的一个三角剖分,通过把地图的顶点,边和面分别视作曲面的零维,一维和二维胞腔,从而可以得到地图的欧拉示性数X。对就有特殊欧拉示性数的的正则地图的研究在上世纪末开始兴起,并且得到了很多漂亮的结果。Conder和Dobcsanyi在1999年给出了一些小亏格数的正则的图的完整列表。包括亏格数2到15的自反可定向正则地图和旋转非自反地图,亏格数4到30的不可定向正则地图。他们对地图的分类基于亏格数和地图的类型(p,g),其中的两个整数分别代表了地图的每个面邻接的边数和每个点邻接的边数。2004年,Breda,Nedela和Siran给出了具有负奇素数的欧拉示性数的正则地图的分类,对于每一类模12的素数的同余类,他们给出了确切的对应的正则地图的个数。值得注意的是没有欧拉示形数为χ≡1 mod 12且x≠13的正则地图。这篇文章的方法在之后得到了优化。Conder在之后也推进了他之前的研究,刻画了欧拉示性数从-1到-200的所有正则地图。实际上,在对这类问题的研究中,欧拉示形数在很大程度上决定了对应的地图的复杂程度。对于正则地图的研究也遵循着这个规律进行。在2010年,自同构群的Sylow子群包含指数至多为2的具有负素数平方的欧拉示性数的正则地图得到了刻画,并且证明了没有具有-p2且p≥7的正则地图(其自同构群满足上述条件)。抛开地图的概念,在上述的对欧拉示性数为负奇素数的正则地图的研究中所关注的群,其所有奇数阶Sylow子群都是循环的,Herzog在1968年发表的文章中就刻画了这类群。更一般化的研究实际上也在很早的时间就开始了,上述的群实际上时一类特殊的Sylow亚循环群,即每个Sylow子群都是亚循环的群。Chillag和Sonn在1981年发表的文章中给出了对于Sylow亚循环群的结构的刻画。特殊的,Gorenstein在其关于有限群论的著作中,就开展了一些关于低深度的p群的相关理论,群的深度定义为其所拥有的最长的子群链的长度。