弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下,其内部所生成应力和位移分布的学科。弹性力学解析解不仅本身具有重要的理论意义,也有重要的工程实用价值。随着新材料的不断出现,弹性力学的研究对象不断丰富,比如压电材料、磁电材料和非均匀材料等。但是大量的解析解仍然依靠传统的半逆解法,这种方法需要根据载荷条件和支撑条件的特点,反复猜测和修改具体的势函数形式去求解一个特定的问题。随着所研究材料本构关系的复杂,结构耦合场数量的增加,荷载形式和支撑形式的多样,获得解析解变得越来越困难。本文试图在弹性力学问题的求解策略上作一种新的尝试,以各向同性平面梁、各向异性平面梁和正交各向异性压电平面梁为研究对象,用新的方法研究这些结构在荷载作用下解析解。主要研究内容如下:基于解函数方程方法,分别给出了求解各向同性平面梁、各向异性平面梁和正交各向异性压电平面梁边值问题的统一方程,用符号软件Maple编写了通用程序,该程序可以给出对应结构在各种支撑下承受任意荷载的解析解。相比传统的应力函数方法,解函数方程方法不需要猜测应力函数的形式,求解过程规整,便于用计算机统一处理。将一种板壳力学中常用的集中力描述形式用于平面梁,与传统平面梁弹性理论中将集中力作用于一小段区间相比,该形式的集中力只是作用于一个点,把这两种集中力都展成Fourier级数进行了统一求解。算例表明,在两者大小相等的条件下,作用于一点的集中力比作用于一小段区间的集中力给出的应力和位移的数值更大,集中压力作用位置横截面的正应力分布不符合一般梁简化理论中线性分布的假设。研究了一种新的平面梁支撑形式,给出了在该支撑条件下这三类平面梁承受不同类型荷载时的解析解。这些解答丰富了平面梁弹性力学解析解的内容,证明了解函数方程方法不仅可以考虑已有的端部支撑形式,而且可以给出新的支撑条件下的解析解。考虑电位移和电势两种边界条件,分别给出了压电平面梁在这两种不同电学边界条件下的统一求解方程。对压电梁承受相同机械荷载,但是不同类型电学边界条件时的应力和位移响应进行了比较。通过数值算例发现,当梁变得细长时,在不同的电学边界下将呈现相同的应力和位移分布。