【摘 要】
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升分解（ascending subgraph decomposition，简记为ASD）是1987年闻名世界的数学家Alavi与其他几位著名数学家给出的一种在真子图同构意义下的图的新分解，并且在同一论文中他们还提出了一个升分解猜想（Alavi猜想）：任意有正数条边的图都可升分解。升分解猜想自提出以后引起了世界上许多数学家的极大兴趣，但至今也只解决了很少的一部分，并且为了证明这个猜想，一个修改了的猜
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升分解（ascending subgraph decomposition，简记为ASD）是1987年闻名世界的数学家Alavi与其他几位著名数学家给出的一种在真子图同构意义下的图的新分解，并且在同一论文中他们还提出了一个升分解猜想（Alavi猜想）：任意有正数条边的图都可升分解。升分解猜想自提出以后引起了世界上许多数学家的极大兴趣，但至今也只解决了很少的一部分，并且为了证明这个猜想，一个修改了的猜想更引人关注，本论文所证明的所有结论都是有关这个修改后的猜想的。 在本论文中我们主要讨论了几类特殊图的升分解，虽然对特殊图的升分解的讨论不能最终解决升分解猜想，但它可以缩小升分解猜想不成立的反例的寻找范围。而且本文还首次引进了矩阵的理论，结合矩阵的性质讨论了可升分解图的运算，这也为解决升分解猜想提供了一个新的研究方向。 对于二部图，因为它可以看作是从完全二部图Kn1n2中减去一个子图H所得的图，在此我们证明了当H满足一定的条件时，二部图Kn1n2-H可以升分解：并且还证明了当二部图G=（V1，V2）的一个顶点集中的顶点数，满足一定的条件时，G可以升分解。另外我们证明了循环图可以升分解，并在此基础上最终证明了对于正则图，也即各个顶点的度均相等的图，升分解猜想是成立的。在此之前，马克杰等人只证明了度数k≤（2/3）（n+1）的正则图G可以升分解，其中n是正整数，满足|E（G）|=（?）。进一步地，我们还探讨了可升分解的图的运算，证明了循环图的混合积可以升分解；更深入地，本论文还证明了两个可升分解的图的张量积可以升分解。
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