本论文主要研究一类四阶椭圆方程． 首先讨论了含有四阶椭圆方程的一类椭圆系统解的存在性｛△2y+k(y-z)+=f1(x，y，z) x∈Ω-△z-k(y-z)+=fz(x，y，z)x∈Ω△y=y=0 x∈()Ωz=0 x∈(_)Ω(1)这里Q是RN(N≥3)中的有界开区域，具有光滑边界()Ω．△2是双调和算子． 在文[10]中，作者在著名的(AR)条件下，由山路引理得到了系统(1)的非平凡解的存在性．(AR)条件对于验证相应的泛函满足山路引理的几何条件以及相应的(PS)。序列有界都起到了非常重要的作用．而本文将讨论(AR)条件不成立时，系统(1)解的存在性． 其次在较文[17]更弱的条件下，讨论了以下一类四阶半线性椭圆方程解的存在性与多重性{△2u+c△u=f(x,u) x∈Ω△u=u=0 x∈()Ω (2)并且考虑了f在无穷远点为超线性时方程(2)正解的存在性．接着用同样的方法讨论了以下四阶拟线性椭圆方程解的存在性和多重性｛△(g1((△u)2)△u)+cdiv(g2(│▽u│2)▽u)=f(x，u) x∈Ω△u=u=0 x∈()Ω (3)其中Ω是RN中的有界开区域，具有光滑边界()Ω．C∈R，f：Ω×R→R是Caxatheodory函数． 主要结果如下： 定理1假设系统(1)中位势函数为F，这里▽uF(x，u)=f(x，u)=(f1(x，u)，f2(x，u))，满足(H1)f：Ω×R2→R2是Caxatheodory函数，即对任意的u=(y，z)∈R2，f(x，u)关于x是可测的，对几乎处处的x∈Ω关于u=(y，z)∈R2是连续的．且存在2＜P＜2*=2N/(N-2)，a0，b0＞0使得对任意的u=(y，z)∈R2和几乎处处的z∈Ω有│f1(x，u)│+│≤f2(x，u)│≤a0│u│p-1+b0. (H2)存在q＞2以及a1＞0使得lim sup F(x,u)/│u│q≤a1≤∞对于几乎处处的x∈Ω一致成立． (H3)存在N/2(q-2)＜μ≤q以及b1＞0使得lim inf/│u│→∞ f(x,u)u-2F(x,u)/│u│μ≥b1＞0对于几乎处处的x∈Ω一致成立． 假设-1/2λ＜k≤0以及存在a2，b2＞0使得lim sup/│u│→0 2F(x，u)/│u│μ│2≤a2＜λ+2k,lim inf/│u│→∞ 2F(x,u)/│u│2≥b2＞λ对于几乎处处的x∈Ω一致成立．其中λ=min｛λ1，λ21｝，λ=max｛λ1，λ21｝，λ1是-△算子的第一个特征值．则系统(1)至少存在一个非平凡解． 定理2 假设k≥0且条件(H1)-(H3)成立．又设存在a3，b3＞0使得lim sup │u│→0 2F(x,u)/│u│2≤a3＜λ，lim inf│u│→∞ 2F(x,u)/│u│2≥b3＞λ+2k对于几乎处处的x∈Ω一致成立．则系统(1)至少存在一个非平凡解． 推论1假设k＞-1/2λ且条件(H1)-(H3)成立．又设lim sup │u│→0 2F(x,u)/│u│2=0，lim inf │u│→∞ 2F(x,u)/│u│2=+∞对于几乎处处的x∈Ω一致成立．则系统(1)至少存在一个非平凡解． 定理3 方程(2)中假设f：Ω×R→R是Caratheodory函数且存在Co＞0，2≤P＜2N/(N-4)(N≥5)；2≤P＜+∞(N≤4)使得对任意的t∈R和几乎处处的x∈Q有│f(x，t)│≤C0(│t│p-1+1)． 假设存在Ω中一正测度子集E1，使得对于几乎处处的x∈E1，当│t│→∞时有F(x，t)-1/2λ1(λ1-c)t2→-∞，对任意的t∈R和几乎处处的x∈Ω有F(x，t)-1/2λ1(λ1-c)t2≤β(x)，其中函数β∈L1(Ω)，F(x，t)=ft0f(x，s)ds． 则方程(2)在V=H2(Ω)ПH10(Ω)中至少存在一解．定理4假设定理3中的条件成立．且设存在正整数m≥1与δ1＞0使得对任意的0＜│t│≤δ1和几乎处处的x∈Ω有λm(λm-c)≤f(x,t)/t≤λm+1(λm+1-c)．则方程(2)在V中至少存在两个非零解． 定理5方程(2)中假设f满足如下条件： (H4)当t≥0，x∈Ω时，f(x，t)≥0；当t≤0，x∈Ω时，f(x，t)≡0； (H5)lim t→+∞ f(x,t)/t=+∞关于x∈Ω几乎处处成立； (H6)当N≥5时，存在2≤p＜2N/(N-4)；当N≤4时，2≤p<+∞使得lim t→+∞ f(x,t)/tp-1=0关于x∈Ω几乎处处成立； (H7)lim supf(x,t)/t=a(x)关于x∈Ω几乎处处成立，其中a∈L∞(Ω)满足对所有的x∈Ω都有a(x)≤λ1(λ1-c)，且存在某正测度子集Ωc Ω使得a(x)＜λ1(λ1-c)在Ω中几乎处处成立； (P)存在θ≥1使得对所有的x∈Ω，t∈R和s∈[0，1]都有θG(x，t)≥G(x，st)，其中G(x，t)=f(x，t)t-2F(x，t)． 则方程(2)至少有一个正解． 定理6方程(3)中假设以下条件成立： (H8)存在C1＞0，2≤p＜2N/(N-4)(N≥5)；2≤p<+∞(N≤4)使得对任意的t∈R和几乎处处的x∈Ω有│f(x，t)│≤C1(│t│p-1+1)． (H9)假设g1，g2∈C(R，R)且c＜λ1.g1是连续且非减函数，cg2是连续且非增函数．存在实数α1，α2，β1和β2使得0＜α1≤g1(t)≤β1，cα2≤cg2(t)≤cβ2，其中α1，β2满足β2/α1≤1当c≥0时；β2/α1≥1当c＜0时． (H10)存在Ω中一正测度子集E2使得对几乎处处的x∈E2，当│t│→∞时有F(x，t)-1/2α1λ1(λ1-c)t2→∞，对所有的t∈R和几乎处处的x∈Ω有F(x，t)-1/2α1λ1(λ1-c)t2≤γ(x)，其中函数，γ∈L1(Ω)，F(x，t)=ft0f(x，s)ds． 则方程(3)在V中至少存在一解． 定理7假设c≤0且α2/β≤1，条件(H8)-(H10)成立．假设存在正整数i≥1和δ2＞0使得对所有的0＜│t│≤δ2和几乎处处的x∈Ω有β1λi(λi-c)≤f(x,t)/t≤α1λi+1(λi+1-c)．则方程(3)在V中至少存在两个非零解．