有限维代数的Hochschild上同调群是由Hochschild1945年引进，并经过Cartan Eilenberg整理，它在数学的若干分支中均有重要作用。如代数表示论，环论，代数几何和代数拓扑等。计算各种代数的Hochschild上同调群在代数及其表示理论中有重要意义。近年来，对于一些重要代数的Hochschild上同调群已经取得了一些重要结果。鉴于此，文章较为详细地整理叙述了最基本的Hochschild上同调理论并力求包括近年来的发展。　　文章首先概括了Hochschild上同调理论的背景和发展状况，其次介绍了有关箭图，复形和Hochschild上同调群的有关概念，还介绍了Happel所构造的极小投射分解，并给出了某些代数的极小投射分解的构造，最后介绍了一些重要代数的Hochschild上同调群，以及近年的重要结果。在这个过程中加细了一些定理的证明，并给出了几个具体的例子计算了Hochschild上同调群。