本文围绕间断有限元(DG)方法半离散格式的超收敛性以及全离散格式的稳定性和误差估计展开深入研究,内容主要分为三个部分。首先,我们针对一维线性Schrodinger方程的半离散局部间断有限元(LDG)方法进行了超收敛分析。本项工作的核心思想是利用LDG格式的能量方程,构造一个特殊的插值函数,并证明LDG解在L2范数意义下以2k+1阶超收敛到插值函数,其中k是多项式空间的最高次数。虽然Schrodinger方程只含有二阶空间导数,但是由于虚数单位i,它实际上是一个波动方程,且相应LDG格式的有限元空间是一个复值函数空间。与抛物方程相比,Schrodinger方程LDG方法的超收敛分析更加困难和复杂。通过构造特殊的修正函数及合适的初值离散,我们严格地证明了由修正函数和Gauss-Radau投影定义的插值函数与LDG解的误差是超收敛的,且收敛阶为2k+1。借助于此项超收敛结果,我们进一步证明了区域平均、区间平均和数值迹的逐点误差皆以2k+1阶的速度超收敛。此外,我们还得到了函数值及其导数在Radau点k+2阶的超收敛结果。数值算例验证了我们的理论成果。其次,我们研究对流扩散方程特殊全离散格式的稳定性和误差估计,其中时间离散采用半隐式谱延迟修正(SDC)方法,空间离散采用LDG方法。SDC方法是一类基于Picard积分方程,通过对显式或隐式Euler方法迭代得到的时间离散方法。这种方法的一个重要优势为易构造高阶格式。然而,半隐式SDC方法的迭代过程产生的多个中间层函数以及隐式部分积分中左端点的参与增加了全离散格式理论分析的难度。更确切地说,与半隐式Runge-Kutta方法相比,半隐式SDC方法的测试函数更为复杂,能量方程更难构造。通过选取与左端点相关的测试函数,以及对不同层函数进行恰当地线性组合,我们证明了当时间步长被固定常数控制时,二阶、三阶半隐式SDC时间离散结合LDG方法的全离散格式是稳定的。此处固定常数与对流项、扩散项的系数有关,但与空间步长无关。在稳定性分析的基础上,我们证明了全离散格式在时间和空间上最优的误差估计。数值结果进一步验证了我们的理论发现。最后,我们研究线性守恒律方程在移动网格上的全离散格式的稳定性和误差估计,这里讨论的网格移动方法属于任意拉格朗日欧拉(ALE)方法。我们采用DG方法离散空间变量,所以称空间离散方法为ALE-DG方法。一至三阶显式且总变差减小的Runge-Kutta方法被用来离散时间变量。我们分析了相应全离散格式的稳定性以及误差。逼近空间对时间的依赖性增加了分析的难度。此项工作的核心技巧是尺度放缩和标准的能量估计。在合适的CFL条件下及选取Lax-Friedrichs数值流通量,我们给出了三种全离散格式的稳定性证明以及空间上次最优、时间上最优的收敛性。