【摘 要】
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本文分为三个章节进行论述。第一章主要是对偏微分方程的发展、边值问题的研究背景以及在撰写此论文时所用到的方法等进行了介绍。第二章首先用不动点定理研究了在实体区域上半线性椭圆方程边界值问题(?)的可解性,并且在一定条件下研究了解的唯一性与不存在性。这里Ω是Rn中有界光滑域,参数λ>0,非线性f(x,u)满足的条件较为一般。在文中首先,我们对问题(2.1)中的函数做如下假设:(A1)f(x,u)&
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本文分为三个章节进行论述。第一章主要是对偏微分方程的发展、边值问题的研究背景以及在撰写此论文时所用到的方法等进行了介绍。第二章首先用不动点定理研究了在实体区域上半线性椭圆方程边界值问题(?)的可解性,并且在一定条件下研究了解的唯一性与不存在性。这里Ω是Rn中有界光滑域,参数λ>0,非线性f(x,u)满足的条件较为一般。在文中首先,我们对问题(2.1)中的函数做如下假设:(A1)f(x,u)>0,x∈Ω且f(x,u)连续;(A2)f(x,s)/s关于s∈(0,+∞)为递减的.主要运用了上调和函数极值原理、Green第一恒等式、Poincare不等式及不动点定理,得到如下结果:定理1设条件(A1)(A2)成立,且λ充分小时,则问题至少存在一个有界正解.定理2若条件(A2)成立,则问题最多只有一个解.定理3若条件(A2)成立且当参数λ充分大时,问题无有界正解.第三章在边界光滑的有界正则区域上研究了一类具梯度项的拟线性椭圆方程边值问题(?)的弱解,其中Ω(?)RN(N≥2).同样,我们对问题(3.1)中条件进行假设:(BB1)设P0,当|u(x)|≤M,在Ω中几乎处处成立f(x,u(x),Du(x))∈Lp(Ω)∩ β(Ω),0<β<1.(B4)设f:Ω×R×RN→R是 Lipschitz 连续的,且 Lipschitz 系数 L<2λ1/3+λ1,这里λ1是△算子0-Dirichlet边值问题的第一特征值.我们主要运用了嵌入定理、上下解方法和不动点定理,证明了如下结果:定理1设(B1),(B2),(B3)成立,则问题(3.1)存在解u∈W2,P(Ω)定理2设(B4)成立,则问题(3.1)的解唯一性.
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