自由边界问题是一类含有未知边界的其边界部分和解彼此相关并且必须同时确定的偏微分方程的定解问题。在自由边界问题中,不但要设置定解的条件,而且至少要设置一个含有自由边界的条件。因此,自由边界问题都是非线性的问题。偏微分方程方向的自由边界问题是数学领域一直备受关注的问题。自由边界问题至今已在美式期权的定价方面、肿瘤的生长方面、水坝的渗流方面、水晶的生长方面、冶金业中金属的融化凝固方面、图像的处理方面、种群的迁移方面和伤口的愈合方面有了深入而细致的研究。本论文是在进一步将自由边界问题转化为具体的求解一类自由边界问题一次齐次解的基础上进行的研究。对于一类自由边界问题的研究,将帮助我们对自然界中许许多多的非线性问题做进一步解释。本文首先研究了三维空间中一类自由边界问题一次齐次解的唯一性。其次,通过Mathematica编程软件对一类自由边界问题与广义勒让德函数定理进行了推导以及证明,由不同边值条件下解得的结果和画出的函数及导数图像,分析得到在不同边值条件下广义勒让德函数的一次齐次解是存在且唯一的。