【摘 要】
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仿射几何是几何的基础内容,主要研究仿射空间点、直线的关系、性质、两个仿射几何间的直射.在数学及工程技术中有广泛的应用.除环上的仿射几何研究已较成熟,近几年Bezout整环
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仿射几何是几何的基础内容,主要研究仿射空间点、直线的关系、性质、两个仿射几何间的直射.在数学及工程技术中有广泛的应用.除环上的仿射几何研究已较成熟,近几年Bezout整环上的仿射几何的研究也得到了很多成果,但环上的仿射几何研究目前仍是很多问题有待解决.近年来环上几何是国内外研究的一个活跃的方向,我国学者对此研究也做出了许多贡献.经典的体上仿射几何基本定理是:体上两个仿射几何之间的直射是半线性映射.这个基本定理有广泛的应用,它的一般形式是我国数学大师华罗庚在1951年首次证明的.这个基本定理的条件简化与进一步的研究仍为国内外学者所关注.但是这个结果不能直接推广到环上仿射几何.一般地讲,环上两个仿射几何之间的直射不一定是半线性映射.局部环是很重要的一类环,在数学与实际问题中有广泛的应用.但是关于局部环上仿射几何研究难度很大,很少见到文献.为了研究局部环上矩阵几何,本文对局部环上仿射几何理论作初步的探讨.本文讨论了局部环上仿射几何的一些性质.在什么条件下,局部环上两个仿射几何之间的直射是半线性映射?本文初步回答了这个问题,证明了下列结果:设m1≥n1≥2,m2≥n2≥2,R1和R2是两个交换局部环.设V1和V2分别是m维自由左（右） R1-模和R2-模.如果φ是一个从AG（V1）到AG（V2）的保幺模性与保直线平行性的直射,则ψ=φ（x） -φ（0）是半线性双射.
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