【摘 要】
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动力系统中的集体行为在现实世界广泛存在,系统中的个体通过局部或全局的交互作用,使整个系统涌现出宏观的动力学行为.例如鸟群、鱼群、无人机编队等,都是通过个体的交互作用使群体能够有序运动.为研究这些涌现行为发生的机制,Kuramoto模型、Winfree模型、Vicsek模型、Cucker-Smale（C-S）模型等动力学模型应运而生.这些模型的研究结果,也被广泛应用到工程、生物、物理、社会科学等不同
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动力系统中的集体行为在现实世界广泛存在,系统中的个体通过局部或全局的交互作用,使整个系统涌现出宏观的动力学行为.例如鸟群、鱼群、无人机编队等,都是通过个体的交互作用使群体能够有序运动.为研究这些涌现行为发生的机制,Kuramoto模型、Winfree模型、Vicsek模型、Cucker-Smale（C-S）模型等动力学模型应运而生.这些模型的研究结果,也被广泛应用到工程、生物、物理、社会科学等不同领域.本文主要针对一维奇异C-S模型和离散Kuramoto模型,研究系统涌现出的集群和同步等集体行为.对于一维情形下的奇异C-S模型,本文首先在长距作用情形下,证明了解的唯一性,细致描述了系统中的碰撞行为和无条件集群行为的涌现.其次,对于短距作用情形,论证了免碰撞机制,并构造了粒子间相对距离的一致下界,以及多集群涌现的充分必要条件.最后,对于长短距临界情形,论证了系统的免碰撞机制和无条件集群涌现.这些结果对一维C-S模型的长时间行为进行了完整分类.对于离散的Kuramoto模型,本文在初始值分布在整个圆周的情形下,构造了Kuramoto模型同步行为的涌现的充分条件.具体地说,本文细致分析了离散格式梯度流的耗散结构,并将之成功应用到离散Kuramoto模型,得到时间渐近意义下的同步行为.
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