本文首先研究正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性.一个正则离散施图姆-刘维尔问题是由一个正则离散施图姆-刘维尔方程和一个边界条件组成.我们知道当方程系数和边界条件系数发生变化时,特征值也随之发生变化.因此,特征值如何随方程系数和边界条件系数的变化而变化就是本文要研究的问题.比如,特征值是否随着方程系数和边界条件系数的变化而连续变化;特征值是否随着方程系数或边界条件系数中某些参数的变化而单调地变化等等.本文接下来研究正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对方程系数和边界条件系数的依赖关系.一般情况下,第n个特征值对方程系数和边界条件系数不是连续依赖的.如何找到所有这样的不连续的方程系数和边界条件系数,在不连续点处第n个特征值呈现怎样地渐近行为也是我们所要研究的问题.我们发现正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对该问题中各系数的依赖性的研究和正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的相应研究无论是从结果上还是从方法上都有很大的不同.另外,随着计算机技术的发展,数值计算的研究得到广泛的关注.我们的研究对离散施图姆-刘维尔问题的一些数值计算提供了理论基础。本文还研究一端点带有奇性的自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对该问题的边界条件中系数的依赖性.由于问题带有奇性,这增加了研究的困难.特别是在奇异端点是极限点型情形,用于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对边界条件依赖性的方法失效.Weyl-Titchmarsh m(λ)-函数理论和一端点带有奇性的连续施图姆-刘维尔问题的谱之间的关系是研究该问题的重要工具.解的先验界估计在该问题的研究中也很重要.该问题的研究在物理中有着重要的应用,比如一些流体线性稳定性与不稳定性的研究,浅水波模型中Cammasa-Holm方程的可积性问题.正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值的扰动理论已被广泛地研究.关于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性,已经有比较丰富的结果.特别地,孔庆凯、吴宏友和Zettl证明了特征值对方程系数和边界条件的连续依赖性,构建了连续特征值分支,给出了连续特征值分支的微分公式[35,37].他们进一步证明了第n个特征值对方程系数是连续依赖的,对边界条件一般情况下不是连续依赖的,同时他们也找到了第n个特征值作为边界条件组成空间上的函数的所有不连续点,以及在不连续点处附近的渐近行为,从而完全刻画了第n个特征值对边界条件的不连续性[33].对于在时间尺度上的正则施图姆-刘维尔问题的研究,孔庆凯证明了第n个特征值连续依赖于除某些特殊点外的分离型边界条件[32].对于奇异自伴连续施图姆-刘维尔问题的研究,张茂柱、孙炯和Zettl证明了在本质谱下确界下方的第n个特征值对边界条件中所有参数是连续依赖的,并给出了它们的微分公式[57].本文的具体安排如下:本文分为五章.第一章是预备知识.首先,我们介绍正则离散施图姆-刘维尔方程和边界条件组成空间,进而介绍正则离散施图姆-刘维尔问题组成空间和正则自伴离散施图姆-刘维尔问题组成空间.接下来我们介绍正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值的一些基本性质.然后我们介绍一端点奇异的自伴连续施图姆-刘维尔问题的边界条件组成空间.最后我们介绍一端点奇异的自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值的一些基本性质.第二章我们研究正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性.首先,我们给出了特征值解析重数和几何重数之间的关系.特别地,当该问题是自伴问题时,我们直接证明了特征值的解析重数和几何重数相等.然后我们证明了充分接近于一个给定问题的所有问题都有这样的特征值,使得它充分接近于这个给定问题的任何一个给定的特征值.接下来,我们证明了正则离散施图姆-刘维尔问题的每个单特征值都落在一个所谓的连续单特征值分支上,正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的每个特征值都落在一个连续特征值分支上.最后我们研究了连续特征值分支的解析性、可微性和单调性.第三章我们研究正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对该问题的连续依赖性.我们把第n个特征值视为正则自伴离散施图姆-刘维尔问题组成空间上的一个函数,称为第n个特征值函数.我们证明了第n个特征值函数在问题组成空间的一个连通子集上连续的充要条件是在这个子集中每个问题有相同个数的特征值.我们也研究了第n个特征值函数在问题组成空间的一个子集上的一些性质,其中包括由第n个特征值函数在某参数方向的单调性可以推出它于不连续点处在该方向上的渐近行为等性质.这对研究第n个特征值对问题的连续依赖性起到很重要的作用.然后我们给出了第n个特征值作为方程组成空间、边界条件组成空间和问题组成空间上的函数的连续点集和不连续点集,以及它在不连续点处附近的渐近行为.第四章我们研究一端点有奇性的自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对边界条件的连续和可微依赖性.我们首先证明了特征值对边界条件的局部连续依赖性.如果奇异端点是极限圆型情形,我们利用类似于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的相应办法[35,37]来证明奇异问题的特征值的局部连续依赖性.如果奇异端点是极限点型情形,此时谱问题会包含本质谱,这会带来一些困难.这使得上述方法不能应用于此.为此,我们利用在一个孤立特征值的小邻域内的Weyl-Titchmarsh m(λ)-函数和该奇异问题谱之间的关系得到了孤立特征值对边界条件的局部连续依赖性.然后我们在边界条件组成空间上建立了通过每个孤立特征值的连续特征值分支.我们严格证明了在一个连续单特征值分支上的特征值对应的特征向量可以被连续的选取,并且有Lw2范数的一致界.这个一致界使得我们在计算连续特征值分支的微分时,反常积分号和极限号能交换顺序.最后我们给出连续单特征值分支对边界条件中所有参数的微分公式.从而,我们也得到了连续特征值分支关于某些参数的单调性.第五章我们对本文进行总结,并对未来工作进行展望.