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分形、混沌和孤子是被誉为非线性科学中最为重要的三个概念，本文以非线性科学中的分形理论为基础，侧重研究了分形学中具有重要意义的复指数函数Newton迭代J集（简称J集）的相关理论和方法、双复数空间中的广义Mandelbrot-Julia集（简称M-J集）以及广义J集的控制和广义M集（简称M集）的控制等内容。 首先，将Kim的复指数函数推广为更一般形式，经研究发现，发现当参数α＞0，|ζ|=1，w=a+bi，|w|≥1时，一般指数方程具有无穷多个根，且每个根均位于变形的单位圆周上，仅当b=0时，根zk*才关于x轴对称，一般指数方程的根的吸引域是有界的，这说明由牛顿迭代法所构造的J集也是有界的。一般指数方程的根的吸引域有无穷多个，本文采用实验观察与理论分析相结合的实验数学方法对吸引域的结构与参数α和w之间依赖关系的进行了研究，证明了吸引域的嵌套拓扑分布结构。 其次，对双复数广义M-J集进行了研究，阐述了双复数理论，讨论了构造广义M-J集的双复数映射的加法和乘法运算是闭的前提条件，并给出了双复数广义M-J集的定义及构造算法。理论研究了双复数广义M集的连通性，双复数广义Tetrabrot集的性质，以及双复数广义M集与其对应的广义J集的关系。利用计算机所构造的双复数广义M-J集，研究了广义Tetrabrot集与其对应的广义J集之间的关系和它们的结构特征，结果发现：①逃逸时间越大，3-D广义J集与对应的2-D J集越相象；②广义Tetrabrot集包含了对应广义J集构造的大量信息；③广义Tetrabrot集及其截面图均具有轴对称性；④逃逸时间越大，截面图与广义Tetrabrot集越相象。 最后，分别研究了广义J集和广义M集的控制理论。通过在复迭代函数zn+1=zna+c（α∈R）上利用一个恰当的数学变换，对广义J集和广义M集实现了完整的放大、缩小、沿x轴和y轴方向上的伸缩以及广义J集和广义M集的旋转控制，并且控制的实现并没有改变广义J集和广义M集的性质。