在计算机辅助几何设计与计算机图形学中,曲面片的光滑拼接、曲线的正则性与凹凸性判别和曲线的生成是其重要的研究内容。在实际应用中常见的曲面拼接方法有三种：连接,切平面连续拼接(记为G’连续拼接)和曲率连续拼接(记为G2连续拼接)。曲线的生成有线生成和点生成两种。本文主要讨论了下面七个方面的问题。第3章讨论了问题1-4,第4,5,6章分别讨论了问题5,6,7。在第3章中讨论的四个问题为：1.对绕一角点的Bezier三角曲面片的切平面连续拼接做了进一步的探讨。章仁江等讨论了绕一角点的Bezier三角曲面片的切平面连续拼接问题,所得曲面的次数为3次,但所有的曲面方程中的常数项、一次项和二次项是对应相同的,只有三次项可以不同。本文利用切平面连续的几何特征和相容性条件,得到了切平面连续时曲面方程的系数应满足的方程组,构造了绕一角点的三角曲面片的切平面连续拼接方法。所得曲面片的次数也是3次,但曲面方程中只有常数项和一次项是对应相同的,不同的曲面的方程中可以有不同的二次项和三次项。这在实际应用和理论上是很有意义的。第一,在章仁江的方法中,当其中一张曲面确定后,其它曲面方程中只有4个系数可以根据实际要求进行选择。而本文中有7个系数可以根据实际要求进行选择。在章仁江的方法和本文方法中用于调整曲面形状的参数的个数比为4：7；第二,如果实际曲面有两部分是不同的显式二次曲面片,用章仁江的方法构造出的曲面不可能与实际曲面在二次曲面部分形状完全相同,而用本文的方法可以做到。因而本文的方法具有更好的形状局部可调性和实用性。2.提出了高斯曲率连续拼接的概念。高斯曲率连续拼接是在切平面连续的条件下,使两相邻曲面在公共边界的每一点处有相同的高斯曲率。这是一种新的拼接方法,它的拼接条件比切平面连续拼接条件强,而比曲率连续拼接条件弱。利用高斯曲率的定义和切平面连续的条件得到了绕一角点的三角曲面片的高斯曲率连续拼接的条件和算法。曲面的等高斯曲率线的状况在曲面的光顺性检测中具有重要意义。如果拼接后的两张曲面沿公共边界高斯曲率不连续,等高斯曲率线就会间断,这会影响整体曲面的光顺性。高斯曲率连续拼接效果好于切平面连续拼接,它比切平面连续拼接具有更好的光顺性。构造的曲面次数低,曲面次数为4次。3.提出了绕一角点的Bezier三角曲面片曲率连续拼接的条件,构造出曲面的曲率拼接算法,所得曲面的次数为5次,低于已见文献算法中曲面片的次数。本文算法的计算量小,易于实现光滑拼接。4.提出了双向插值法。在绕一角点的曲面片的光滑拼接问题中,常用的方法是：先确定某一区域上的曲面,然后沿顺时针(或逆时针)方向依次确定下一张曲面,但最后一张曲面未必能够与第一张曲面实现光滑拼接,可能会出现一定的偏差。双向插值法的思想是：当沿顺时针(或逆时针)方向确定完曲面后,再沿相反方向在每一个区域上确定一张曲面。这样在每一个区域上都有两张曲面,这两张曲面叠合后形成一张新的曲面,此时最后一张新曲面与第一张新曲面可以实现光滑拼接。本文利用双向插值法实现了绕一角点的曲面片的切平面连续、曲率连续和高斯曲率连续的光滑拼接。由于每个区域上都对应着两张曲面,增加了形状调节因子,因而本文方法具有灵活的形状调节性。利用重心坐标和直角坐标的关系及上述结果,将直角坐标系下的三角曲面片转化为Bezier三角曲面片,可得到相应的绕一角点的Bezier三角曲面片的光滑拼接方法。5.第4章讨论了绕四面角点的矩形域上的Bezier曲面片曲率连续拼接的条件和算法。对于绕一角点的任意张矩形域上Bezier曲面片曲率连续拼接问题,至今没有很好地解决。一些作者仅研究了绕四面角点的三次曲面片的曲率连续拼接方法。而在本文方法中,曲面片的次数是任意的,可根据实际要求进行选择,解决了绕四面角点的矩形域上的Bezier曲面片曲率连续拼接问题。6.第5章讨论了Bezier曲线与NURBS曲线的正则性和凹凸性。将判别Bezier曲线与NURBS曲线的正则性和凹凸性问题转化为判别代数方程根的存在问题。通常的方法为计算相应多项式的结式的值,若结式的值为零则需要用反算的方法判别。本文的方法不用计算多项式结式的值和反算,直接利用一组多项式在区间的两个端点处的函数值的符号判别出曲线的正则性和凹凸性,若曲线不是正则的可判别出奇点的个数。本文方法简单实用。7.第6章讨论了圆的多边形逼近算法。传统的算法是用圆内接正多边形来逼近圆(即生成圆)。刘勇奎给出了另一种用多边形逼近圆的算法—相交多边形算法,其方法是最佳距离逼近的。本文利用最值原理得到了圆的多边形最佳面积逼近算法,并且对圆的内接正多边形算法、相交多边形算法和本文的算法在面积逼近精度方面进行了分析和比较。通过比较可知,用具有相同边数的正多边形去逼近已知圆,圆的内接多边形算法中多边形与圆所夹的面积为本文方法中相应面积的2.7倍。相交多边形算法中多边形与圆所夹的面积是本文方法中相应面积的1.2倍。在相同的面积精度(即多边形与被逼近圆所夹的面积)要求下,内接多边形算法与相交多边形算法中逼近圆的正多边形的边数分别是本文算法中正多边形边数的1.63倍与1.1倍。随着面积精度的提高,边数的差会越来越大,运算量的差别也会越来越大,因而在这三种算法中本文方法的效率是最高的。