彩虹连通性概念是由Chartrand，Johns，McKeon和Zhang在2006年首次提出的。令G是一个非平凡的连通图，在G上定义一个边染色c: E(G)→{1,2,···,n}, n∈N,这里相邻的边的颜色可能相同。一条路是彩虹的如果这条路上没有两条边的颜色相同。一个边染色图是彩虹连通的如果每两个不同顶点之间都有一条彩虹路连接。使得图G彩虹连通的边染色称为彩虹染色。显然，如果一个图是彩虹连通的，那么它必然连通。相反，每个连通图有个平凡的边染色来使它彩虹连通：给不同的边以不同的颜色。因此我们定义连通图G的彩虹连通数为使得G彩虹连通所需最少颜色的个数，记为rc(G)。彩虹连通数不仅是一个自然的组合测度，也应用于机构之间机密信息的安全传输。此外，彩虹连通数也出于其在网络领域的有趣的解释：假设G表示一个网络（例如，蜂窝网络）。我们希望能在任何两个顶点之间通过管道传递消息，并要求连接顶点的线路上的每段（即路径上的每个边）被分配一个独特的频道（例如，不同的频率）。我们显然要求网络中所使用的不同频道的个数最少，这个数字恰恰就是rc(G)。令c是图G的一个彩虹染色。对G的任何两点u和v， G中的一条彩虹u v测地线是一条长度为d(u,v)的u v彩虹路。图G称为强彩虹连通的如果对G中的每对不同顶点u和v都存在一条彩虹u v测地线。这种情况下，染色c称为G的强彩虹染色。类似地，我们定义连通图G的强彩虹连通数为使得图G强彩虹连通所需最少颜色的个数，记为src(G)。显然有diam(G)≤rc(G)≤src(G)≤m，这里diam(G)和m分别表示图G的直径和边数。彩虹染色的一个自然的推广是：在某个边染色下，任何两点之间的彩虹路的个数至少是k条，这里k≥1。 Menger定理指出每个κ-连通图G，存在k条内部不交的连接每对不同顶点u和v的路，这里κ≥1,1≤k≤κ。与彩虹染色类似，我们称一个边染色为彩虹k-染色如果对任意两个不同的顶点u和v，存在至少k条内部不交的彩虹u v路。 Chartrand, Johns, McKeon和Zhang定义彩虹k-连通度rck(G)为最小的整数j使得存在一个j-边染色为彩虹k-染色。根据定义，rck(G)是rc(G)的推广并且rc1(G)=rc(G)是图G的彩虹染色数。通过给图G的边以不同的颜色，我们可以看到图G的每两个顶点之间都至少有k条内部不交的彩虹路， rck(G)对每个k都是有定义的，这里1≤k≤κ。因此rck(G)的定义是合理的。进一步，我们有rck(G)≤rcj(G)，这里1≤k≤j≤κ。本文包括两部分。第一部分包含第2、3、4、5章，主要研究彩虹连通数和强彩虹连通数。第二部分是第6章，主要研究图的彩虹k-连通度。在第2章中，我们考虑图的彩虹连通数和强彩虹连通数的上界。我们首先通过给图G的补图G一些限制条件来研究图G的彩虹连通数，并且给出两个充分条件使得rc(G)有常数上界。第一个结果是：对每个连通图G，如果G不属于下面两种情况：(i) diam(G)=2,3，(ii) G恰好有两个连通分支并且其中一个是平凡的，那么rc(G)≤4。有例子表明这个界是紧的。第二个结果是：对每个连通图G，如果G是无三角形图，那么rc(G)≤6。其次，我们根据图G的边不交三角形的个数给出了的src(G)的一个紧的上界：如果G是一个有m条边和t个边不交三角形，那么src(G)≤m2t。我们还给出了等式成立的充要条件。在第3章中，我们研究了具有大的（强）彩虹连通数的图。我们得出rc(G)=m1、 src(G)=m1，并且刻画了满足rc(G)=m2(src(G)=m2)的图。在第4章中，我们研究了一个重要的图类，线图。我们首先考虑了无三角形图的线图的彩虹连通数，并且根据线图或者原图的一些参数来给出两个上界。其次，我们研究了含有三角形的图的线图的彩虹连通数，并且根据原图的一些参数得到了两个紧的上界。第一个结果是：对于连通图G的一个含有t个边不交三角形的集合T，如果T的边集导出的子图是个三角-树-结构，那么rc(L(G))≤n2t，并且这个界是紧的。第二个结果是：如果G是一个连通图， T是一个含有t个边不交三角形的集合，且这些三角形覆盖了除n2′个内点以外的G的所有内点， c是导出子图G[E(T)]的连通分支个数，那么rc(L(G))≤t+n2′+c；并且这个界是紧的。我们还研究了迭代线图的彩虹连通数并且得到：令G是一个有m条边和m1条长度为2的悬挂路，那么rc(L2(G))≤m m1，等式成立当且仅当G是个长度至少为3的路。在第5章中，我们研究了图运算下的彩虹连通数。对于卡式积，我们给出一个紧的上界：如果G是连通图G1,···, Gk的卡式积，那么rc(G)≤∑ki=1rc(Gi)；当对每个i有rc(Gi)=diam(Gi)时，等式成立。我们还研究了其他图运算，例如：复合运算（字典积），两个图的联，单个图的点分裂与边剖分。在第6章中，我们研究了两个特殊图类，完全图与正则完全二部图，的彩虹k-连通度。对于完全图，我们证明了对于每个整数k≥2，存在一个整数f(k)=ck23+C(k)，使得如果n≥f(k)，那么rck(Kn)=2，这里c是一个常数且C(k)=o(k23)。Chartrand, Johns, McKeon和Zhang得到的f(k)的上界是(k+1)2，即f(k)≤(k+1)2。我们把这个f(k)的上界从O(k2)改进到O(k23)，这是一个很显著的改进。对于正则完全二部图，我们得到：对于每个整数k≥2，存在一个整数g(k)使得对每个r≥g(k)，rck(Kr,r)=3成立。这个结论解决了[1]中提的公开问题。