微分算子的谱理论是微分算子理论中的基础问题之一,它包括微分算子谱的定性分析、渐近估计、按特征函数展开等.由于它与应用联系密切,特别是许多量子力学问题利用奇异微分算子的谱分析得到解决,因此受到不同领域研究者的广泛关注。研究工作层出不穷,特别是在谱的定性分析方面国内外数学工作者取得了一系列重要的成果,而大多成果都集中于自伴微分算子,关于J-自伴微分算子的成果并不多见。　　本文主要围绕微分算子谱的定性分析和渐近估计展开研究。首先利用算子直和分解法、二次型比较法等方法分析和研究了几类J-自伴微分算子谱的离散性,最后研究了一类 Sturm-Liouville算子特征值的渐近估计。　　本文共分为六部分:一:微分算子研究的背景、研究工作的进展和本文所需要的基本引理、符号等相关知识。二:利用二次型比较法、预解算子的全连续性、算子直和分解法研究了一类J-自伴Euler微分算子谱的离散性,得出其谱是离散的一些判别准则。三:运用算子直和分解法和二次型比较法研究了一类具有指数系数的J-自伴微分算子谱的离散性,得到当系数满足一定条件时,其谱是离散的一些判别准则。四:运用算子直和分解法和二次型比较法研究了一类系数中含有指数函数和幂函数的J-自伴微分算子谱的离散性,得到当系数满足一定条件时,其谱是离散的一些判别准则。五:运用算子直和分解法及实部、虚部分离开来考虑的方法讨论了一类J-自伴微分算子谱的离散性,得出不仅末项系数按照特定的方式无限增大时该J-自伴微分算子的谱是离散的,而且,中间项系数按照特定的方式无限增大时其谱也是离散的结论。六:利用同阶无穷小比较法研究一类有限区间上 St urm-Liouville问题特征值的渐近估计,不仅得到特征值是依赖于微分方程系数和边界条件的结论,同时还给出误差更小,结果更精细的渐近式。