梯度系统在微分方程、最优化及实际工程等领域都有广泛的应用,而梯度流轨道有限长的性质在理论分析及实际应用中都具有重要的价值。本文主要研究无限维Hilbert空间中实解析函数与凸函数梯度流轨道有限长的性质。Lojasiewicz不等式是研究有限维空间中实解析函数梯度流渐近性行为的重要工具,但一般情况下在无限维空间中Lojasiewicz不等式不成立。几十年来人们一直在试图寻找Lojasiewicz不等式成立的一般性条件,本文分析了Lojasiewicz不等式在无限维Hilbert空间中不成立的原因,然后给出了实解析函数在其临界点的任意一个邻域与紧集的交中不成立Lojasiewicz不等式的例子,最后提出了共尾集的概念并证明了无限维Hilbert空间中的实解析函数在共尾集中成立Lojasiewicz不等式,通过这一结论,本文证明了收敛到共尾集中的实解析函数的梯度流轨道是有限长的。自收缩曲线是为了解决有限维空间中凸函数梯度流轨道是否为有限长问题而提出的概念,本文将其推广到了无限维Hilbert空间中,并证明了Hilbert空间中凸函数梯度流轨道是有界自收缩曲线且紧集中的有界自收缩曲线具有收敛性。