近年来，作为网络通信中的一个新理论，网络编码已经得到了广泛地发展。这个新理论允许网络中的中间结点对收到的信息或数据进行代数组合，而不是像原来一样，中间结点仅对收到的信息或数据进行简单地存储、复制和发送。网络编码能够达到更高的信息率，同时也能够更好地利用通信网络的资源。由于它的一般性和巨大的应用潜力，网络编码对许多与通信相关的领域都产生了积极的影响，其中包括信息论、编码理论、网络理论、无线通信理论、复杂度理论、密码学、存储理论和拟阵论等。本文的工作主要涉及两个方面：随机线性网络编码和线性网络纠错编码。在网络编码中，对于不能完全利用网络全局拓扑的情况，人们已经提出了随机线性网络编码的方法。在实际的应用中，我们总是能够或多或少的知道一些网络的拓扑信息。也就是说对于不同的应用，我们可以获得不同的网络拓扑信息。这个事实推动我们去进一步研究随机线性网络编码的性能分析。对于不同的网络拓扑信息，我们研究了随机线性网络编码在接收结点处的失败概率和网络的全局失败概率，这些失败概率定量地刻画了随机线性网络编码的性能。我们给出了这些概率的上界，并且说明了所给出的上界是紧的或渐进紧的。进一步地，也给出了“最坏”的网络，即，当对这些网络应用随机线性网络编码时，它们所对应的失败概率达到或渐进达到了所给出的上界。此外，为了更加合理和充分地刻画随机线性网络编码的性能表现，我们提出了平均失败概率的概念，这个失败概率的分析结果可以从平均的意义下来说明随机线性网络编码的性能表现。因此它能够刻画随机线性网络编码对于整个传输网络的表现。进一步地，我们详细地分析了这个失败概率，并得到了它的一些上界。此外，我们也指出所得到的这些上界或者是紧的或者是渐进紧的。最后，我们证明了可利用的网络拓扑信息越多，对于所提到的那些失败概率，我们所能够得到的上界就越好，这符合直观上的感觉。本文的另一部分研究了线性网络纠错编码。近来，网络纠错编码已经被广泛的研究，一些传统的代数编码上的界被推广到了网络纠错码中，特别是网络纠错的Singleton界。在本文中，我们利用推广的全局编码核的概念更加简洁地证明了网络纠错的Singleton界。与传统的代数编码类似，我们关心最优的网络纠错码，也就是说达到所给出的界的码。其中我们认为最重要的一类网络纠错码是达到网络纠错的Singleton界的码，称其为线性网络纠错的最大距离可分码，简称为网络MDS码。此外，对于网络MDS码的存在性，我们给出了一个构造性证明，并且指出网络MDS码的存在所需的基域的大小能够进一步地减小，甚至在某些情况下远远小于已知的结果。通过利用这个构造性证明，我们给出了一个线性网络纠错码的多项式时间构造算法，特别是能够构造网络MDS码。类似于网络编码中，对于非相关网络（网络的整体拓扑结构是未知的）中的信息传输和网络纠错，随机线性网络纠错编码也是一个有效的编码方法。当然，随机线性网络纠错编码既没有考虑网络的整体拓扑结构，也没有协调不同结点的编码，所以随机线性网络纠错编码的性能表现就是我们最关心的一个问题。为了刻画随机线性网络纠错码的性能分析，我们定义不同的失败概率并对它们进行了详细地讨论。我们得到了这些失败概率的上界，它们暗示了当基域充分大时这些失败概率可以任意的小。通过这些上界，我们略微改进最小距离的概率分布函数等一些概率指标。在实际的网络通信中，信源结点经常在某一段时间内以不同的信息率来传送数据。如果同时考虑信息传输和网络纠错，我们希望对这些不同的信息率都能够使用线性网络纠错的MDS码。基于这个目的，我们从理论上提出了一个有利于实际应用的解决方案。我们引入一族通用的线性网络纠错MDS码的概念—这些线性网络纠错MDS码在每一个中间结点上都使用相同的局部编码系数进行编码。因此，这个概念能够非常有效地的解决这个问题并且这个方法不仅能够降低每一个结点上的存储空间，而且也节省了网络通信的时间和网络资源。进一步地，我们详细研究了这种通用的线性网络纠错MDS码的存在性，并且提出了有效的实现方案。当同时考虑信息传输和网络纠错时，网络编码中四种典型的线性码：线性多播网络编码、线性广播网络编码、线性散播网络编码和泛化网络编码被推广到了网络纠错编码，即线性多播的网络纠错码、线性广播的网络纠错码、线性散播的网络纠错码和泛化的网络纠错码。进一步地，我们得到了对应于这些新的网络纠错码的Singleton界，并且定义达到这些新的Singleton界的网络纠错码为线性多播的网络MDS码，线性广播的网络MDS码、线性散播的网络MDS码和泛化的网络MDS码。最后，我们使用代数方法严格证明了这些新的网络MDS码的存在性，并且基于得到的结论设计了构造它们的算法。