论文部分内容阅读
本文主要研究了Gorenstein内射模与Gorenstein投射模这两类特殊的模及其相关性质,并且对QF-环上的模进行了刻画,讨论了交换QF-环上的有限生成模满足条件时既是投射模和内射模,又是Gorenstein投射模和内射模.进一步,我们将其推广到其直和和直和项上.本文主要工作有以下几个部分：第一章,介绍了本文的研究背景与意义,以及本文中所需要用到的环与模的一些基本概念与记号.第二章是本文主体内容的第一部分,首先我们介绍了Gorenstein内射模的定义,并且给出了内射分解类、真左内射分解和余真右内射分解的相关概念.我们得到了如下一些结论：(1)所有的Gorenstein内射模类都是内射分解的,即：对于左R-模的正合列0→M′→M→M″→0,若M′是Gorenstein内射模,则M″是Gorenstein内射模当且仅当M是Gorenstein内射模；(2)Gorenstein内射模类对于直和和取直和项封闭.第三章,我们主要讨论了Gorenstein内射维数的相关性质.首先我们给出了模的Gorenstein内射预包的概念,得到了如下结论：(1)任意一个具有有限维Gorenstein内射维数的左R-模,都存在一个单的Gorenstein内射预包；(2)对于任意一个具有有限维内射维数的左R-模M，下列命题等价：(ⅰ)M具有n维Gorenstein内射维数,n∈Z+；(ⅱ)对于任意一个具有有限维内射维数左R-模E,ExtRi(E,M)=0,i>n；(ⅲ)对于任意一个左R-模E,都有ExtRi(E,M)=0,i>n；(ⅳ)对于任意—个左R-模的正合列0→M→G0→Gn-1→Kn→0,若Gi(i=0,…,n-1)是Gorenstein内射模,则Kn也是Gorenstein内射模.(3)任意一个具有有限维内射维数的R-模,其Gorenstein内射维数与其内射维数相等.第四章主要给出了交换QF-环上的有限生成模的相关性质.首先,我们对QF-环进行了刻画,得出了QF-环上的模的良好性质.接着,我们讨论了交换QF-环上的有限生成模的相关特征,得到如下结论：任一交换QF-环上的有限生成模M如果满足条件：(ⅰ)pdRM<∞；(ⅱ)End(RM)是一个投射R-模,则M不仅是投射模和内射模,同时又是Gorenstein投射模和内射模.最后,我们将交换QF-环上的有限生成模的上述性质推广到了其直和和直和项上.