【摘 要】
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超混沌和混沌是非线性动力系统的两种复杂的运动现象.由于混沌行为的随机性和不可预测性等特征,混沌理论在安全通信、非线性电路等领域有着广泛的应用和发展.Segmented Disc Dynamo是一类描述天体间磁场形成和逆转原理的自治动力系统.本文基于该系统提出了一个新四维超混沌系统和一个新五维超混沌系统.从局部动力学的角度上看,两个新系统都可以具有任意给定数量的平衡点,都存在Hopf分岔现象.有趣的
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超混沌和混沌是非线性动力系统的两种复杂的运动现象.由于混沌行为的随机性和不可预测性等特征,混沌理论在安全通信、非线性电路等领域有着广泛的应用和发展.Segmented Disc Dynamo是一类描述天体间磁场形成和逆转原理的自治动力系统.本文基于该系统提出了一个新四维超混沌系统和一个新五维超混沌系统.从局部动力学的角度上看,两个新系统都可以具有任意给定数量的平衡点,都存在Hopf分岔现象.有趣的是,在适当参数条件下,新四维系统会在两个平衡点上同时发生Hopf分岔,进而产生两个对称的极限环.从全局动力学的角度上看,两个新系统都存在着多种共存吸引子现象.尤其特别的是,两个新系统都存在着megastability,即无穷多个隐藏吸引子共存的现象.本文的研究内容具体如下:第一章为绪论,简述了混沌动力学理论的发展历程,概述了混沌等基本概念和中心流形理论以及Hopf分岔理论等基本理论,并且简要说明了本文的行文架构.第二章基于Segmented Disc Dynamo,提出了一个新四维系统和一个新五维系统.其中,新四维系统在没有平衡点和具有线平衡点这两种情形下存在隐藏混沌吸引子,在具有两个非双曲平衡点的情形下存在超混沌吸引子,在具有六个不稳定平衡点和具有无穷多个不稳定孤立平衡点这两种情形下存在混沌吸引子.新五维系统在具有三个不稳定双曲平衡点的情形下存在超混沌吸引子.第三章分析了新四维超混沌系统的动力学行为,证明了该系统可以具有任意给定数量的平衡点,包括无平衡点、任意有限个平衡点、可列个平衡点以及线平衡点这四种情形,并进一步分析了部分情形下平衡点的稳定性.运用Hopf分岔理论证明了在适当的参数条件下,新四维系统会在两个平衡点上同时发生Hopf分岔,进而产生两个对称的极限环,并用数值模拟验明了Hopf分岔的存在.新四维系统还存在着多种multistability现象,包括两个超混沌吸引子共存、无穷多个混沌吸引子共存等.特别有趣的是,新四维超混沌系统还存在megastability现象.第四章从和第三章相同的角度出发分析了新五维超混沌系统的动力学行为.新五维系统也可以具有任意给定数量的平衡点,在适当的参数条件下也存在Hopf分岔.此外,新五维系统还存在着一个混沌吸引子和两个周期吸引子共存、一个隐藏拟周期吸引子和一个隐藏周期吸引子共存等multistability现象,并且也存在着megastability现象.
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