对斜面上平抛运动的探讨

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  摘 要: 平抛运动是高中物理中重要的研究问题的方法,对于相关结论的探讨会加深学生对平抛知识的理解应用。本文重点研究了物体在斜面上做平抛运动时的一些问题,特别是容易出错的地方。
  关键词: 斜面 平抛运动 高中物理教学
  平抛运动是高中物理中的重要内容,教学过程中经常会遇到发生在斜面上的平抛运动。笔者发现,对于这类问题,许多学生往往浅尝辄止,导致一些错误认识长期得不到纠正。本文就相关问题进行详细探讨。
  例题:如图1所示,从倾角为θ的斜面上的O点以速度v平抛一个小球,最终落在斜面上的A点。求:(1)小球从抛出开始计时经多长时间落到A点?位移的大小|OA|为多少?(2)小球经多长时间距离斜面最远?最远距离是多大?(3)若以小球轨迹上距斜面最远点为分界点,将其轨迹分为两部分,两部分长度相等吗?是否关于该点对称?(4)斜面足够长,改变v的大小重新平抛,试证明末速度方向与斜面之间的夹角为定值,与v的大小无关。
  解析:
  一、斜面上平抛运动位移和时间的确定
  如图2所示,将位移OA分解为水平方向的位移x和竖直方向的位移y,显然有y=xtanθ,设平抛运动的总时间为,根据小球在水平方向上做匀速直线运动,竖直方向上做自由落体运动,有:,以上三式联立得:。显然当斜面夹角确定时,平抛运动的时间只与初速度的大小成正比,与其他因素无关。位移大小|OA|,当θ确定时,抛点和落点间的距离与初速度的平方成正比。
  二、距离斜面最远的条件
  如图3所示,采用正交分解法将小球所受重力mg与初速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向分别分解,根据力的独立作用原理知,运动时间共同决定小球离开斜面距离的大小。所以当v减小到零时,小球离开斜面的距离最远,此时只有,即当小球的速度方向与斜面平行时距离斜面最远。
  三、距斜面最大距离的确定
  四、轨迹是否关于最远点B对称
  如果不加仔细分析,许多同学就会想当然地认为轨迹关于最远点B对称,其实不然。原因在于B点为整个过程的中间时刻,故曲线OB和曲线BA在水平方向的分量是一样的,而它们在竖直方向的位移之比为1∶3,如图4所示,所以这两段曲线的长度根本就不相等,即轨迹不可能关于B点对称。其实对于斜上抛运动物体的轨迹才有对称的情况,对称轴为过最高点的竖直线,原因在于斜上抛运动的轨迹是一条完整的抛物线,在最高点两侧都有轨迹图像,才会有对称的情况发生,而平抛运动物体的轨迹根本不具备对称的可能性。
  五、相对于斜面落点速度方向的唯一性
  任何平抛运动和类平抛运动中,一段时间内末速度的反向延长线必定过这段时间内水平位移的中点。这是一个非常重要的结论,在许多方面都有着巧妙的应用。由①③两式可得:tanα=2tanθ④,该式说明速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的2倍,这个结论也适用于所有平抛运动和类平抛运动。④式说明斜面上的平抛运动落点速度方向与斜面之间的夹角β和初速度大小无关,即β=α-θ=arctan(2tanθ)-θ,很显然β为定值。
  总之,在斜面上物体的平抛运动值得分析的探究点很多,只要能够抓住问题的本质,采用恰当的物理规律和分析问题的方法,就一定可以达到“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的境界。
  为了很好地应用上面的一些结论,在文章最后附上了一道练习题,以期起到小试牛刀的作用。
  (参考答案:B)
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