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【摘要】正确理解概念是掌握数学基础知识和基本技能的前提。如果能在系统复习数学知识和解题训练的同时,加强对有关数学概念本质属性的认识,提高学生的概念思维能力,更自觉地运用概念,这对知识的掌握和能力的提高,将是大有裨益的。
【关键词】高考复习 数学概念
Mathematics concepts should be paid attention to in reviewing for the entrance examination for college
Peng Fei
【Abstract】Understanding the concept correctly is the precondition for mastering basic mathematics knowledge and skill. If teachers can strengthen students’ understanding to the essential attribute of the relational mathematics concepts, improve students’ ability to think about the concept and use that more self-consciously at the same time of reviewing mathematics knowledge and solving problems, there will be a great help for mastering knowledge and improving students’ ability.
【Keywords】Reviewing for the entrance examination for college Mathematics concepts
正确理解概念是掌握数学基础知识和基本技能的前提,数学概念的教学已逐渐为教师所重视。然而在高考复习中,不少老师还是“概念带带过,题目不怕多”;不少学生钻进题海之中,往往忽视复习好概念,更谈不上巩固和加深对概念的理解,结果往往是事倍功半。笔者在多年的教学实践中,深刻地体会到:如果能在系统复习数学知识和解题训练的同时,加强对有关数学概念本质属性的认识,提高学生的概念思维能力,更自觉地运用概念,这对知识的掌握和能力的提高,将是大有裨益的。
1.应重视数学概念的复习。
1.1 不能机械地背诵定义,要真正掌握概念的内涵。定义,只能给出对象的最显著、最基本的本质属性,它不可能囊括被定义概念的所有属性。
例如,函数的定义应包括定义域、值域和对应关系,学生对这样的题目刚接触时还有困惑:设函数的定义域是[0,1],求函数f(X²)的定义域。
只有当他们弄清楚,f(X²)的定义域是[–1,1],而不是[0,1]时,再给出下面的题目才不会茫然:
已知f(X²)=2+log3X,X∈[1,9],求函数Y=[f(X)]²+f(X²)的最大值。
本题首先要弄清楚,复函数Y定义域不是[1,9],而是[1,9]∩[1,3]∪[-3,-1]=[1,3],才不会把最大值搞错。
1.2 数学概念是不断发展的,对概念的理解和掌握,一般不能一次完成。因为,函数是中学数学中最重要的概念(苏步青语),它本身是不断发展的,在初中,从变量的角度给出的函数的定义,到了高中则从集合间的映射关系的角度出发,给出更精确的定义,后者更抽象,更为深刻,同时应用更为广泛。(虽然这个定义对中学生来说,接受起来并不轻松,但从更高要求来说,定义还有局限性,需要再扩展。在这里就不再赘述了。)
学习函数的定义后,学生又从五个基本初等函数的性质和图象的学习中,加深对函数概念的理解,对这样一个具有高度抽象性的概念,只有在持续的学习及系统的复习中,反复琢磨体会,随着年龄的增长和知识的积累,才能真正理解和掌握。
1.3 要掌握好基本概念体系,才能正确、灵活运用概念。
例如,有学生利用三角函数公式sin2α+cos2α=1,证明勾股定理,就是一个典型的例子,如图:
AC2=AD2+DC2+2AD•DC
=AD2+DC2+2BD2
=AD2+DC2+BD2+BD2
=AB2cos2A+BC2cos2C+AB2sin2A+BC2sin2C
=AB2(cos2A+sin2A)+BC2(cos2C+sin2C)
=AB2+BC2
事实上,同角三角函数这个关系式,是以勾股定理为依据导出的,因此这一证明犯了因果倒置的错误,当α是直角三角形中的一个锐角时,公式sin2α+cos2α=1是直角三角形的一个重要属性。它与勾股定理都是直角三角形的内涵,并且有前因后果的关系,如果真正掌握直角三角形的概念体系,就可能避免犯这种逻辑的错误。
2.应深化和运用数学概念。
2.1 正确理解和掌握概念。在全面复习中,应要求学生把概念尤其是重要概念认真钻研一遍,反对死记硬背。
例:Z是复数,方程 ,在复平面上的轨迹是( )
A、椭圆 B、双曲线 C、线段 D、射线
不少学生刚接触此题,不加思索就选A,因为他们记住椭圆的定义是:到两个定点距离的和等于定长的点的轨迹,而忽视了这个定长应大于两点间的距离,即椭圆中的a>c。
2.2 全面掌握概念的内涵和外延。概念的内涵指明了对象“质”的特征:而外延决定对象“量”的范围,只有注意把握概念“质”、“量”方面的统一,把握“质”的界限,而又“心中有数”,才算较正确形成和理解了概念。
例如,要求学生掌握直线与平面平行的定义,更要掌握直线与平面平行的充要条件:直线与平面里的一条直线平行,因为后者把两个不同类型的元素——直线与平面的空间位置关系转化为两个同类元素——直线与直线的位置关系。要掌握直线与平面垂直的定义,更要掌握直线与平面垂直的充要条件:直线与平面内两条相交直线垂直(把一条直线与无数条直线垂直的关系转化为与两条相交直线垂直的关系)。这些充要条件不应该仅把它当作一般的性质、定理,而要求学生从概念的本质属性的高度认识它们、运用它们。
2.3 注意各种概念之间的联系。例如,函数、方程与不等式是不同的数学概念,它们分别各自构成自己的体系,但又彼此有概念上的联系。在复习中,要求学生注意到,方程实质上是运用函数下定义的,所以函数是比方程更为广泛的概念,我们往往用方程的知识去研究函数,用函数的知识去研究方程、不等式。这在二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的研究上表现尤为突出。
2.4 灵活运用概念解题。即使是一道简单的数学题,所涉及的对象一般不止一个,对象所联系的概念也不止一个。面对众多的对象和错综复杂的关系,要理出一条思路,揭示其规律性的联系,如果学生有一定的概念思维能力,能灵活运用概念,往往能迅速、准确地找到解题的关键所在。
例:判断函数f(x)=(x-1)• 奇偶性。
学生往往这样解:∵f(-x)=(-x-1)•
∴f(x)为偶函数。
这样解是吃力不讨好的,答案是错误的,原因是忽略了定义域。事实上,由 ≥0,可得到f(x)的定义域[-1,1]。因区间[-1,1]关于原点不对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
在奇偶函数的概念中,不能忽略它的定义域必须关于原点对称。
例:椭圆的离心率为 ,左焦点和左准线是抛物线Y2=4X的焦点和准线,求椭圆方程。
不少学生会这样解:设所求椭圆方程为 ,求出a、b、m,这样解当然可以,但因对离心率、焦点、准线的概念理解不透彻,结果花了不少时间,还是做错了。
当时我在解题时,引导学生分析:根据题意,已知椭圆的离心率,且可以求出它的焦点准线,如果能用圆锥曲线统一定义求曲线方程,问题就简单多了。
解题如下:由抛物线方程Y2=4X,可知焦点F(1,0),准线方程X=-1,(它们分别是椭圆的焦点与准线)椭圆的离心率为 ,设P(X,Y)为椭圆上的任一点,由圆锥曲线统一定义,得 ,整理得 ,这就是所求椭圆方程,解法简洁、准确。
总之,高考复习时间紧,内容多,难度大,千头万绪。笔者认为,要求学生重视概念的复习,理解和运用概念,应该说是找到了掌握双基提高能力的关键的一环。
【关键词】高考复习 数学概念
Mathematics concepts should be paid attention to in reviewing for the entrance examination for college
Peng Fei
【Abstract】Understanding the concept correctly is the precondition for mastering basic mathematics knowledge and skill. If teachers can strengthen students’ understanding to the essential attribute of the relational mathematics concepts, improve students’ ability to think about the concept and use that more self-consciously at the same time of reviewing mathematics knowledge and solving problems, there will be a great help for mastering knowledge and improving students’ ability.
【Keywords】Reviewing for the entrance examination for college Mathematics concepts
正确理解概念是掌握数学基础知识和基本技能的前提,数学概念的教学已逐渐为教师所重视。然而在高考复习中,不少老师还是“概念带带过,题目不怕多”;不少学生钻进题海之中,往往忽视复习好概念,更谈不上巩固和加深对概念的理解,结果往往是事倍功半。笔者在多年的教学实践中,深刻地体会到:如果能在系统复习数学知识和解题训练的同时,加强对有关数学概念本质属性的认识,提高学生的概念思维能力,更自觉地运用概念,这对知识的掌握和能力的提高,将是大有裨益的。
1.应重视数学概念的复习。
1.1 不能机械地背诵定义,要真正掌握概念的内涵。定义,只能给出对象的最显著、最基本的本质属性,它不可能囊括被定义概念的所有属性。
例如,函数的定义应包括定义域、值域和对应关系,学生对这样的题目刚接触时还有困惑:设函数的定义域是[0,1],求函数f(X²)的定义域。
只有当他们弄清楚,f(X²)的定义域是[–1,1],而不是[0,1]时,再给出下面的题目才不会茫然:
已知f(X²)=2+log3X,X∈[1,9],求函数Y=[f(X)]²+f(X²)的最大值。
本题首先要弄清楚,复函数Y定义域不是[1,9],而是[1,9]∩[1,3]∪[-3,-1]=[1,3],才不会把最大值搞错。
1.2 数学概念是不断发展的,对概念的理解和掌握,一般不能一次完成。因为,函数是中学数学中最重要的概念(苏步青语),它本身是不断发展的,在初中,从变量的角度给出的函数的定义,到了高中则从集合间的映射关系的角度出发,给出更精确的定义,后者更抽象,更为深刻,同时应用更为广泛。(虽然这个定义对中学生来说,接受起来并不轻松,但从更高要求来说,定义还有局限性,需要再扩展。在这里就不再赘述了。)
学习函数的定义后,学生又从五个基本初等函数的性质和图象的学习中,加深对函数概念的理解,对这样一个具有高度抽象性的概念,只有在持续的学习及系统的复习中,反复琢磨体会,随着年龄的增长和知识的积累,才能真正理解和掌握。
1.3 要掌握好基本概念体系,才能正确、灵活运用概念。
例如,有学生利用三角函数公式sin2α+cos2α=1,证明勾股定理,就是一个典型的例子,如图:
AC2=AD2+DC2+2AD•DC
=AD2+DC2+2BD2
=AD2+DC2+BD2+BD2
=AB2cos2A+BC2cos2C+AB2sin2A+BC2sin2C
=AB2(cos2A+sin2A)+BC2(cos2C+sin2C)
=AB2+BC2
事实上,同角三角函数这个关系式,是以勾股定理为依据导出的,因此这一证明犯了因果倒置的错误,当α是直角三角形中的一个锐角时,公式sin2α+cos2α=1是直角三角形的一个重要属性。它与勾股定理都是直角三角形的内涵,并且有前因后果的关系,如果真正掌握直角三角形的概念体系,就可能避免犯这种逻辑的错误。
2.应深化和运用数学概念。
2.1 正确理解和掌握概念。在全面复习中,应要求学生把概念尤其是重要概念认真钻研一遍,反对死记硬背。
例:Z是复数,方程 ,在复平面上的轨迹是( )
A、椭圆 B、双曲线 C、线段 D、射线
不少学生刚接触此题,不加思索就选A,因为他们记住椭圆的定义是:到两个定点距离的和等于定长的点的轨迹,而忽视了这个定长应大于两点间的距离,即椭圆中的a>c。
2.2 全面掌握概念的内涵和外延。概念的内涵指明了对象“质”的特征:而外延决定对象“量”的范围,只有注意把握概念“质”、“量”方面的统一,把握“质”的界限,而又“心中有数”,才算较正确形成和理解了概念。
例如,要求学生掌握直线与平面平行的定义,更要掌握直线与平面平行的充要条件:直线与平面里的一条直线平行,因为后者把两个不同类型的元素——直线与平面的空间位置关系转化为两个同类元素——直线与直线的位置关系。要掌握直线与平面垂直的定义,更要掌握直线与平面垂直的充要条件:直线与平面内两条相交直线垂直(把一条直线与无数条直线垂直的关系转化为与两条相交直线垂直的关系)。这些充要条件不应该仅把它当作一般的性质、定理,而要求学生从概念的本质属性的高度认识它们、运用它们。
2.3 注意各种概念之间的联系。例如,函数、方程与不等式是不同的数学概念,它们分别各自构成自己的体系,但又彼此有概念上的联系。在复习中,要求学生注意到,方程实质上是运用函数下定义的,所以函数是比方程更为广泛的概念,我们往往用方程的知识去研究函数,用函数的知识去研究方程、不等式。这在二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的研究上表现尤为突出。
2.4 灵活运用概念解题。即使是一道简单的数学题,所涉及的对象一般不止一个,对象所联系的概念也不止一个。面对众多的对象和错综复杂的关系,要理出一条思路,揭示其规律性的联系,如果学生有一定的概念思维能力,能灵活运用概念,往往能迅速、准确地找到解题的关键所在。
例:判断函数f(x)=(x-1)• 奇偶性。
学生往往这样解:∵f(-x)=(-x-1)•
∴f(x)为偶函数。
这样解是吃力不讨好的,答案是错误的,原因是忽略了定义域。事实上,由 ≥0,可得到f(x)的定义域[-1,1]。因区间[-1,1]关于原点不对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
在奇偶函数的概念中,不能忽略它的定义域必须关于原点对称。
例:椭圆的离心率为 ,左焦点和左准线是抛物线Y2=4X的焦点和准线,求椭圆方程。
不少学生会这样解:设所求椭圆方程为 ,求出a、b、m,这样解当然可以,但因对离心率、焦点、准线的概念理解不透彻,结果花了不少时间,还是做错了。
当时我在解题时,引导学生分析:根据题意,已知椭圆的离心率,且可以求出它的焦点准线,如果能用圆锥曲线统一定义求曲线方程,问题就简单多了。
解题如下:由抛物线方程Y2=4X,可知焦点F(1,0),准线方程X=-1,(它们分别是椭圆的焦点与准线)椭圆的离心率为 ,设P(X,Y)为椭圆上的任一点,由圆锥曲线统一定义,得 ,整理得 ,这就是所求椭圆方程,解法简洁、准确。
总之,高考复习时间紧,内容多,难度大,千头万绪。笔者认为,要求学生重视概念的复习,理解和运用概念,应该说是找到了掌握双基提高能力的关键的一环。