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数学课程标准指出:“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”验证结论、寻求证据在科学上是很重要的一个环节,也是科学研究中常用的一种思想方法,在数学学习中适当地引入这种思想方法,可以有效地增强学生主动探索和获取数学知识的能力,促进学生创造性思维的发展。而目前大多数教师在教学中只注重学生探索知识的过程,轻视对知识的验证,导致学生无视验证或草率验证,造成的结果是学习的知识不严谨,对科学不尊重。那么,在教学中我们该如何领会呢?
一、在验证的过程中,要帮助学生打开思路
正如科学研究一样,学生提出一种假设后,还要想办法证明这种假设是否正确、合理,我们不要求学生像科学研究那样做出非常繁琐、非常严格的科学验证,但是我们绝不能让学生感觉验证是可有可无的,要引导学生用已有的知识、创新的观念,多角度、多方位进行检验证明,在“验证”的过程中,要帮助学生打开思路,形成正确的认识。
案例A:《加法交换律》教学片段
师:猜一猜,这些算式中有什么规律?
生:交换两个加数位置,和不变。
师:请在练习本上举几个例子。
师:(巡视一圈) 我发现很多同学都举的是两位数加两位数的例子,那别的情况也符合吗?
(学生开始举“三位数加三位数、两位数加一位数……”这样的例子)。师:(又巡视) 那有些特殊数相加也符合吗?如整百数、整十数等。
(学生开始举整百数、整十数的例子,也有开始举有关“0”、“1”的例子)。
(全班汇报交流)
师:为什么要举各种类型的例子?为什么要这么多同学一起举例,教师一个人在大黑板上举例不行吗?
(生答略)
在案例A中,我们看到验证过程所用时间较长。在这一过程中,教师引导学生打开了思路,学生不仅仅停留在“两位数加两位数”上,还思考了不同位数相加,以及“0”、“1”等这样的特殊情况。最后引导学生思考“为什么要举这么多例子”,“为什么要这么多同学一起举例”,让学生明白验证的过程必须是科学的,不是举几个例子就能得出结论,而是应该考虑到各种不同的情况,尤其是一些特殊数字。经历这样的过程,学生就会明白验证是一个科学的、严谨的过程。
结论的得出必须是科学的。结论也必须是具有一定挑战性的。仅仅得到一个算式的结果不能称之为一个结论。要引导学生在得出结论的过程中反思整个过程,或者证明它的正确性,或者举出一个反例否定它,无论是从理论上严格的证明,还是找到一个反例否定它,都算是解决了这一数学问题。 案例A从正反两个方面分别进行了验证,让学生在得出结论的过程中逐步学会发现数学的内涵与真谛,感受到数学的严谨和力量。
二、在得出结论的过程中,让学生感受验证的必要
首先,在学生得出结论的过程中,教师要引导学生回顾整个猜想验证的过程,明晰猜想的合理性,感受验证过程对得出结论的支撑作用。
案例B:《圆的周长》教学片段
师:说说你已经知道了哪些有关圆的知识?
(学生说到了圆周率是3.1415926或是3.14。)
师:《周髀算经》上说“周三径一”你知道为什么吗?为什么圆周率会有这么多的答案呢?到底哪个才是对的?你怎么证明自己的观点呢?
(学生用工具进行操作计算来验证自己的答案)
(全班交流,学生算出圆周率是3.1204、3.1567、3.1356等答案)
师:为什么答案会不一样?这么多答案有什么共同点吗?
(学生讨论得出“圆周长一定是直径的三倍多一点”)
(师生合作验证,用计算器算出测量的结果是3.1395348837209……)
(借助课件介绍圆周率从古至今的形成过程和不断精确的过程。)
圆周率这个概念大部分学生都已经从书上了解了,也说得出来是3.14……,显然学生要真正理解它的意义并明晰原理比较难。案例B中,教师引领学生验证已知的“3.14”, 首先,通过学生动手测量并计算圆周率,来感知这个数据的含义。接着,通过讨论交流达成共识:“圆周长一定是直径的三倍多一点”,最后,经过验证得出结论。学生经历了一个知识形成的过程,从书中的3.14变为了自己掌握理解的3.14。相信,留在学生头脑中的3.14不会光是一个机械的数字,而是马上能与操作过程联系到一起的一个活生生的数据。
其次,在学生得出结论时,教师要提升学生的验证能力,不仅要提供结论正确的内容,也要适当让学生感受结论错误的内容,要让学生意识到验证的“残酷本质”:验证有可能证明猜想是对的,也有可能反驳猜想。这样,学生在得出结论时,就会感受到验证过程的必要,就会体会到结论的来之不易。这样在概括结论时,他就会依据验证过程进行提炼,不断提高自己的总结概括能力。
总之,猜想、验证是学生解决问题的核心环节。对学生来说,数学学习如同科学发现的过程,所以在学习中不断演绎着猜想——验证——再猜想——再验证的循环过程,学生对数学知识的认识也是从模糊到清晰,从知之甚少到知之较多,最终掌握学习的方法。虽然小学数学一般不要求作严格论证,但对于学生的假设,可从他们已有的生活经验和思维水平入手,提供足够的探索时空,组织独立或小组合作式的探索活动,亲身经历尝试、探索、验证的过程,从而获得验证知识的能力。因此,在小学数学教学中,数学验证与数学猜想也一样重要。
一、在验证的过程中,要帮助学生打开思路
正如科学研究一样,学生提出一种假设后,还要想办法证明这种假设是否正确、合理,我们不要求学生像科学研究那样做出非常繁琐、非常严格的科学验证,但是我们绝不能让学生感觉验证是可有可无的,要引导学生用已有的知识、创新的观念,多角度、多方位进行检验证明,在“验证”的过程中,要帮助学生打开思路,形成正确的认识。
案例A:《加法交换律》教学片段
师:猜一猜,这些算式中有什么规律?
生:交换两个加数位置,和不变。
师:请在练习本上举几个例子。
师:(巡视一圈) 我发现很多同学都举的是两位数加两位数的例子,那别的情况也符合吗?
(学生开始举“三位数加三位数、两位数加一位数……”这样的例子)。师:(又巡视) 那有些特殊数相加也符合吗?如整百数、整十数等。
(学生开始举整百数、整十数的例子,也有开始举有关“0”、“1”的例子)。
(全班汇报交流)
师:为什么要举各种类型的例子?为什么要这么多同学一起举例,教师一个人在大黑板上举例不行吗?
(生答略)
在案例A中,我们看到验证过程所用时间较长。在这一过程中,教师引导学生打开了思路,学生不仅仅停留在“两位数加两位数”上,还思考了不同位数相加,以及“0”、“1”等这样的特殊情况。最后引导学生思考“为什么要举这么多例子”,“为什么要这么多同学一起举例”,让学生明白验证的过程必须是科学的,不是举几个例子就能得出结论,而是应该考虑到各种不同的情况,尤其是一些特殊数字。经历这样的过程,学生就会明白验证是一个科学的、严谨的过程。
结论的得出必须是科学的。结论也必须是具有一定挑战性的。仅仅得到一个算式的结果不能称之为一个结论。要引导学生在得出结论的过程中反思整个过程,或者证明它的正确性,或者举出一个反例否定它,无论是从理论上严格的证明,还是找到一个反例否定它,都算是解决了这一数学问题。 案例A从正反两个方面分别进行了验证,让学生在得出结论的过程中逐步学会发现数学的内涵与真谛,感受到数学的严谨和力量。
二、在得出结论的过程中,让学生感受验证的必要
首先,在学生得出结论的过程中,教师要引导学生回顾整个猜想验证的过程,明晰猜想的合理性,感受验证过程对得出结论的支撑作用。
案例B:《圆的周长》教学片段
师:说说你已经知道了哪些有关圆的知识?
(学生说到了圆周率是3.1415926或是3.14。)
师:《周髀算经》上说“周三径一”你知道为什么吗?为什么圆周率会有这么多的答案呢?到底哪个才是对的?你怎么证明自己的观点呢?
(学生用工具进行操作计算来验证自己的答案)
(全班交流,学生算出圆周率是3.1204、3.1567、3.1356等答案)
师:为什么答案会不一样?这么多答案有什么共同点吗?
(学生讨论得出“圆周长一定是直径的三倍多一点”)
(师生合作验证,用计算器算出测量的结果是3.1395348837209……)
(借助课件介绍圆周率从古至今的形成过程和不断精确的过程。)
圆周率这个概念大部分学生都已经从书上了解了,也说得出来是3.14……,显然学生要真正理解它的意义并明晰原理比较难。案例B中,教师引领学生验证已知的“3.14”, 首先,通过学生动手测量并计算圆周率,来感知这个数据的含义。接着,通过讨论交流达成共识:“圆周长一定是直径的三倍多一点”,最后,经过验证得出结论。学生经历了一个知识形成的过程,从书中的3.14变为了自己掌握理解的3.14。相信,留在学生头脑中的3.14不会光是一个机械的数字,而是马上能与操作过程联系到一起的一个活生生的数据。
其次,在学生得出结论时,教师要提升学生的验证能力,不仅要提供结论正确的内容,也要适当让学生感受结论错误的内容,要让学生意识到验证的“残酷本质”:验证有可能证明猜想是对的,也有可能反驳猜想。这样,学生在得出结论时,就会感受到验证过程的必要,就会体会到结论的来之不易。这样在概括结论时,他就会依据验证过程进行提炼,不断提高自己的总结概括能力。
总之,猜想、验证是学生解决问题的核心环节。对学生来说,数学学习如同科学发现的过程,所以在学习中不断演绎着猜想——验证——再猜想——再验证的循环过程,学生对数学知识的认识也是从模糊到清晰,从知之甚少到知之较多,最终掌握学习的方法。虽然小学数学一般不要求作严格论证,但对于学生的假设,可从他们已有的生活经验和思维水平入手,提供足够的探索时空,组织独立或小组合作式的探索活动,亲身经历尝试、探索、验证的过程,从而获得验证知识的能力。因此,在小学数学教学中,数学验证与数学猜想也一样重要。