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摘 要：向量组的极大无关组是线性代数中非常重要的概念之一，有着非常广泛的应用。尤其是在求解线性方程组的通解，以及在用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵时的应用。然而，在学习中发现，学生在学习向量组的极大无关组时，感觉十分抽象，学习起来有些吃力。尤其是对于普通高校文科类的学生以及民办高校的学生，对于向量组的加我工作的概念很模糊，也不知如何去向量组的极大无关组。本文主要对向量组的极大无关组及其性质和求法，以及应用，进行梳理，归纳和总结。为同学们在学习向量组的极大无关组时提供一些思路。
关键词：向量组;极大无关组：线性相关;线性无关
一.向量组的极大无关组的定义
定义：如果向量组中的部分向量组成的向量组线性无关，且向量组中的每个向量都可以由它们线性表示，则称为向量组的一个极大无关组。
注：所谓向量组的极大线性无关组，就是向量组中个数最多的线性无关的部分组，此外，向量组的极大无关组不是唯一的，但是，线性无关向量组的极大线性无关组是唯一的，就是自身.而只含有零向量的向量组没有极大无关组。
二. 向量组的极大无关组的性质
1.向量组与它的极大无关组等价;
2.向量组的任意两个极大无关组等价;
3.向量组的极大无关组所含的向量个数相同：
4.秩为的向量组中，任意个线性无关的向量组都是向量组的极大无关组。
三.向量组的极大无关组的通常求法
1.初等变换法：首先将向量组作为矩阵的列，而后对矩阵进行初等行变换化成行阶梯形，则的非零行的个数，即为向量组的秩，而与的列向量组的极大无关组相对应的矩阵的列向量组就是所求向量组的极大无关组。此方法通常用于“具体”的向量组的情景。
2.利用有关结论法：就是利用极大无关组的性质以及有关结论，求向量组的极大无关组。此方法通常用于求“抽象”的向量组得极大无关组得情形。
例1：设向量组，如果，且，求向量组
的一个极大无关组。
解：因为，所以线性相关，因此，向量组的极大无关组不可能同时含有，从而向量组可能的极大无关组只能是，或者是
如果线性相关，则必有，这与已知矛盾，所以线性无关，又由于可以被线性表示，所以，可以被线性表示，而中任何一个向量都可以被其本身向量组线性表示，从而，根据定义可知向量组就是向量组的一个极大无关组。
同理可证：向量组也是向量组的一个极大无关组。
3.逐个选录法：对于一个给定得向量组，首先通过观察法选定一个线性无关得部分向量组，然后，对于剩余得向量组采取从左到右得顺序，逐个考察每个向量，如果出现不能被选录的线性无关的部分向量组线性表示的向量，则添加该向量构成一个新的线性无关的部分向量组，以此为基础，继续对后续向量进行考察，逐个选录，最终可求得向量组的极大无关组。此方法通常适用于向量组中，向量个数较少的情景。
例2求向量组
的极大无关组。
解：显然线性无关，而，但是不能被线性表示，从而
，线性无关。因此， 就是向量组的极大无关组。
四.向量组的极大无关组的应用
1.向量组的极大无关组在向量空间中的应用
由于向量空间的基，即为向量空间的极大无关组，而对于向量组生成的向量空间，实质上就是向量组的極大无关组生成的向量空间，并且向量组的极大无关组也称为该向量组生成的向量空间的基，其秩称为向量空间的维数。然而，求向量空间的基，通常有两种方法，一种是观察法：即对于用集合表示的向量空间，可以根据向量空间的具体形式，观察其特点，设法找出向量空间的一组线性无关的向量，使得向量空间的任何一个向量都能被它们线性表示，则它们就是向量空间的一个基。而另一种是极大无关组法：即求出向量组的极大无关组，就是向量组生成的向量空间的一个基。
2.向量组的极大无关组在求解线性方程组中的应用
对于齐次线性方程组的解空间，要求它的通解，通常是先求出齐次线性方程组的基础解析，由于齐次线性方程组的基础解析，实际上就是齐次线性方程组的解空间的极大无关组。然而，求齐次线性方程组的解空间的基础解析（即极大无关组），通常也有两种方法：一种是高斯消元法：即对于“具体”的齐次线性方程组，可以对其系数矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形，得到齐次线性方程组的解空间的基础解析（即极大无关组）。而另一种是利用有关结论法：即对于“抽象”的齐次线性方程组，首先根据齐次线性方程组的解空间的维数（基础解析所含向量的个数）与齐次线性方程组的系数矩阵的秩的关系，确定，然后，设法从已知的条件中找出齐次线性方程组的个线性无关的解向量，就是所求的齐次线性方程组的解空间的基础解析。
向量组的极大无关组还有着非常广泛的应用，比如，向量组的极大无关组化实对称矩阵为对角矩阵中的应用，在求解阶常系数微分方程中的应用，以及在代数学中的应用等等。由于篇幅所限，在此，就不累赘了。
参考文献
[1] 李乃华.赵芬霞.赵俊英.李景焕.线性代数及其应用导学[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
[4] 郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.
作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。
关键词：向量组;极大无关组：线性相关;线性无关
一.向量组的极大无关组的定义
定义：如果向量组中的部分向量组成的向量组线性无关，且向量组中的每个向量都可以由它们线性表示，则称为向量组的一个极大无关组。
注：所谓向量组的极大线性无关组，就是向量组中个数最多的线性无关的部分组，此外，向量组的极大无关组不是唯一的，但是，线性无关向量组的极大线性无关组是唯一的，就是自身.而只含有零向量的向量组没有极大无关组。
二. 向量组的极大无关组的性质
1.向量组与它的极大无关组等价;
2.向量组的任意两个极大无关组等价;
3.向量组的极大无关组所含的向量个数相同：
4.秩为的向量组中，任意个线性无关的向量组都是向量组的极大无关组。
三.向量组的极大无关组的通常求法
1.初等变换法：首先将向量组作为矩阵的列，而后对矩阵进行初等行变换化成行阶梯形，则的非零行的个数，即为向量组的秩，而与的列向量组的极大无关组相对应的矩阵的列向量组就是所求向量组的极大无关组。此方法通常用于“具体”的向量组的情景。
2.利用有关结论法：就是利用极大无关组的性质以及有关结论，求向量组的极大无关组。此方法通常用于求“抽象”的向量组得极大无关组得情形。
例1：设向量组，如果，且，求向量组
的一个极大无关组。
解：因为，所以线性相关，因此，向量组的极大无关组不可能同时含有，从而向量组可能的极大无关组只能是，或者是
如果线性相关，则必有，这与已知矛盾，所以线性无关，又由于可以被线性表示，所以，可以被线性表示，而中任何一个向量都可以被其本身向量组线性表示，从而，根据定义可知向量组就是向量组的一个极大无关组。
同理可证：向量组也是向量组的一个极大无关组。
3.逐个选录法：对于一个给定得向量组，首先通过观察法选定一个线性无关得部分向量组，然后，对于剩余得向量组采取从左到右得顺序，逐个考察每个向量，如果出现不能被选录的线性无关的部分向量组线性表示的向量，则添加该向量构成一个新的线性无关的部分向量组，以此为基础，继续对后续向量进行考察，逐个选录，最终可求得向量组的极大无关组。此方法通常适用于向量组中，向量个数较少的情景。
例2求向量组
的极大无关组。
解：显然线性无关，而，但是不能被线性表示，从而
，线性无关。因此， 就是向量组的极大无关组。
四.向量组的极大无关组的应用
1.向量组的极大无关组在向量空间中的应用
由于向量空间的基，即为向量空间的极大无关组，而对于向量组生成的向量空间，实质上就是向量组的極大无关组生成的向量空间，并且向量组的极大无关组也称为该向量组生成的向量空间的基，其秩称为向量空间的维数。然而，求向量空间的基，通常有两种方法，一种是观察法：即对于用集合表示的向量空间，可以根据向量空间的具体形式，观察其特点，设法找出向量空间的一组线性无关的向量，使得向量空间的任何一个向量都能被它们线性表示，则它们就是向量空间的一个基。而另一种是极大无关组法：即求出向量组的极大无关组，就是向量组生成的向量空间的一个基。
2.向量组的极大无关组在求解线性方程组中的应用
对于齐次线性方程组的解空间，要求它的通解，通常是先求出齐次线性方程组的基础解析，由于齐次线性方程组的基础解析，实际上就是齐次线性方程组的解空间的极大无关组。然而，求齐次线性方程组的解空间的基础解析（即极大无关组），通常也有两种方法：一种是高斯消元法：即对于“具体”的齐次线性方程组，可以对其系数矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形，得到齐次线性方程组的解空间的基础解析（即极大无关组）。而另一种是利用有关结论法：即对于“抽象”的齐次线性方程组，首先根据齐次线性方程组的解空间的维数（基础解析所含向量的个数）与齐次线性方程组的系数矩阵的秩的关系，确定，然后，设法从已知的条件中找出齐次线性方程组的个线性无关的解向量，就是所求的齐次线性方程组的解空间的基础解析。
向量组的极大无关组还有着非常广泛的应用，比如，向量组的极大无关组化实对称矩阵为对角矩阵中的应用，在求解阶常系数微分方程中的应用，以及在代数学中的应用等等。由于篇幅所限，在此，就不累赘了。
参考文献
[1] 李乃华.赵芬霞.赵俊英.李景焕.线性代数及其应用导学[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
[4] 郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.
作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。