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本文对同学们在解决圆周角和确定圆的条件的有关问题时常犯的错误加以分析，希望大家能从这些错误中汲取教训.
一、 概念不清
例1 下列说法：（1） 长度相等的弧是等弧；（2） 平分弦的直径垂直于弦；（3） 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；（4） 平面内的三点可以确定一个圆.其中，正确的个数是（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
错误解答：选D.
【错因诊断】（1） 不正确，“长度相等的弧”可以理解为“弧的拉直长度相等”，而“等弧”是指“互相重合的弧”，只有在同圆或等圆中才会出现“等弧”. “等弧”的长度一定相等，但“长度相等的弧”不一定能重合，即不一定是等弧.（2） 不正确，直径是弦，是圆中最大的弦，即弦包括直径；圆中的任意两条直径都是互相平分的，但两条直径不一定垂直.（3） 不正确.只有在同一个圆（或等圆）中这个结论才成立.（4） 不正确，平面内的三点可能在同一条直线上，也可能不在同一直线上，当三点不在同一直线上时，才能确定一个圆.正确的说法是：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆.上述错误都是概念不清造成的.
正确解答：选A.
【点评】本题考查圆中的有关概念和性质成立的前提条件（概念），在运用圆的有关性质解决问题时，一定要注意“同圆或等圆”这个重要条件，否则有许多结论就出现问题了.
二、 方法不当
例2 如图1，CD所在直线垂直平分线段AB，为什么使用这样的工具可以找到圆形工件的圆心.
错误解答：因为圆心在AB的垂直平分线CD上. 所以用这样的工具可以找到圆心.
【错因诊断】由于不理解“找圆心”的含义，结果造成方法使用不当. 平面中要找一个点就是确定这个点的位置，需要由两条相交的直线或曲线来确定. 所以，正确的方法是：当A、B两点在圆上时，圆心在AB的垂直平分线上，沿CD画一条直线；改变工具的位置，仍使A、B两点在圆上，再沿CD画一条直线. 两直线的交点就是圆心.
【点评】本题考查寻找圆心的方法，一般利用有直角的工具都可以找出直径，但使用的方法要恰当.
三、 思考不周
例3 ☉O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=，AD=，则∠CAD的度数是_______.
错误解答：如图2，过O作OE⊥AC于E， 作OF⊥AD于F. 由AO=1，AE=AC=，可求得OE=，∴△OAE是等腰直角三角形，∠OAE=45°. 由AO=1，AF=AD=，可求得OF=，∴△OAF是含30°角的直角三角形，∠OAF=30°. ∴∠CAD=∠OAE ∠OAF=45° 30°=75°.
【错因诊断】 上
面的解答的过程有理有据，没有错误，只是在画图时只画了AC、AD在圆心两侧的情况，漏掉了AC、AD在圆心同侧的情况，如图3所示，此时可求得∠CAD=∠OAE-∠OAF=45°-30°=15°.
正确解答：∠CAD的度数是75°或15°.
【点评】本题考查圆周角的计算和垂径定理的应用.在原题没有图形的情况下，应特别注意画图要符合题意，当图形不确定时，要分类讨论.在遇到弦有关的计算问题时，常常要应用垂径定理，过圆心作弦的垂线段是常用的辅助线之一.
四、 推理无据
例4 以等腰三角形ABC的底边BC的中点O为圆心，作一圆与腰AB相切于点D. 求证：AC与☉O也相切.
错误解答：如图4，连接OD、OE. ∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵OB=OC，OD=OE，∴△BOD≌△COE，∴∠ODB=∠OEC.
∵AB是☉O的切线，∴∠ODB=90°，
∴∠OEC=90°，∴AC与☉O也相切.
【错因诊断】 这种证法仅凭直观认为☉O与AC有公共点，且公共点为E，则OE为☉O的半径，因此就错误地应用切线的判定定理来论证. 实际上，在证得☉O与AC相切之前，不能确定☉O与AC的位置关系，亦即不能确定☉O与AC有无交点、有几个交点，更不知交点在何处，所以断定E为交点、OE为半径是毫无根据的. 这里犯了依赖直观，推理无据的错误.
正确解答：方法1：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点. ∵AB切☉O于D，∴OD⊥AB， ∴∠ODB=∠OEC=90°.
又∵O是BC的中点，∴OB=OC. ∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE， ∴OE=OD，即OE是☉O的半径， ∴AC与☉O相切.
方法2：连接AO，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C.
∵ AB=AC， OB=OC，∴△OAB≌△OAC，∴ ∠OAB=∠OAC，即OA为∠BAC的角平分线，∴O点到AB、AC两边的距离相等.
∵圆O与AB相切，∴圆O也与AC相切.
【点评】本题考查切线的判定，要证明已知直线是圆的切线时，有两种情况：（1） 如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径，简称为“作半径，证垂直”；（2） 如果已知直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，简称为“作垂直，证相等”. 在解题中，要结合具体情况选择上述两种判定方法.
五、 知识混淆
例5 如果圆锥的底面半径是4，母线的长是16，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是______.
错误解答：这个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为：2π×4=8π，由弧长公式l=，得n=== 180，即这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是180°.
【错因诊断】弧长公式是l=，错解误用为l=，这是知识混淆造成的错误. 正确解答：这个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为：2π×4=8π，由弧长公式l=，得 n===90，即这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是90°.
【点评】本题考查弧长公式的应用，要注意弧长公式与扇形面积公式的区别，它们的分子上分别是R和R2，分母分别是180和360.
六、 理解偏差
例6 如图5，已知PA、PB是☉O的切线，A、B是切点，其中PO=4，∠APB=60°，求阴影部分的周长.
错误解答：如图5，连接OA、OB.
∵PA、PB是☉O的切线，A、B是切点，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=30°. 在Rt△PAO中，AO=PO=2，PA===2，∴PB=2.
∴阴影部分的周长=PA PB=4.
【错因诊断】图形的周长是指围成该图形所有线条长度的和.本题中阴影部分的周长应包括线段PA、PB和的长.错解忽略了阴影部分的弧线部分，即的长.这是理解偏差造成的错误.
正确解答：如图5，连接OA、OB，∵PA、PB是☉O的切线，A、B是切点，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=30°，∠AOP=∠BOP=60°. 在Rt△PAO中，AO=PO=2，PA===2，∴PB=2.
∵∠AOB=120°，∴的长== π，∴阴影部分的周长=PA PB =2 2 π=
4
π.
【点评】本题考查求切线长和弧长有关的计算，正确理解阴影部分的周长，熟练进行相关计算是关键.这类问题难度不大，解题时概念清楚，计算正确即可.
小试身手
1. 一条弦分圆为1∶4的两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______.
2. 已知☉O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=42°，则∠BAC=______度.
3. 在同圆中，所对圆心角的度数小于180°，且>，那么弦AB和弦CD的大小关系是（ ）.
A. AB>CD B. AB=CD
C. AB 4. 已知：如图6，四边形ABCD是☉O的外切平行四边形. 求证：四边形ABCD是菱形.
5. 如图7，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12 cm，高BC=8 cm，求这个零件的表面积. （结果保留π）
一、 概念不清
例1 下列说法：（1） 长度相等的弧是等弧；（2） 平分弦的直径垂直于弦；（3） 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；（4） 平面内的三点可以确定一个圆.其中，正确的个数是（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
错误解答：选D.
【错因诊断】（1） 不正确，“长度相等的弧”可以理解为“弧的拉直长度相等”，而“等弧”是指“互相重合的弧”，只有在同圆或等圆中才会出现“等弧”. “等弧”的长度一定相等，但“长度相等的弧”不一定能重合，即不一定是等弧.（2） 不正确，直径是弦，是圆中最大的弦，即弦包括直径；圆中的任意两条直径都是互相平分的，但两条直径不一定垂直.（3） 不正确.只有在同一个圆（或等圆）中这个结论才成立.（4） 不正确，平面内的三点可能在同一条直线上，也可能不在同一直线上，当三点不在同一直线上时，才能确定一个圆.正确的说法是：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆.上述错误都是概念不清造成的.
正确解答：选A.
【点评】本题考查圆中的有关概念和性质成立的前提条件（概念），在运用圆的有关性质解决问题时，一定要注意“同圆或等圆”这个重要条件，否则有许多结论就出现问题了.
二、 方法不当
例2 如图1，CD所在直线垂直平分线段AB，为什么使用这样的工具可以找到圆形工件的圆心.
错误解答：因为圆心在AB的垂直平分线CD上. 所以用这样的工具可以找到圆心.
【错因诊断】由于不理解“找圆心”的含义，结果造成方法使用不当. 平面中要找一个点就是确定这个点的位置，需要由两条相交的直线或曲线来确定. 所以，正确的方法是：当A、B两点在圆上时，圆心在AB的垂直平分线上，沿CD画一条直线；改变工具的位置，仍使A、B两点在圆上，再沿CD画一条直线. 两直线的交点就是圆心.
【点评】本题考查寻找圆心的方法，一般利用有直角的工具都可以找出直径，但使用的方法要恰当.
三、 思考不周
例3 ☉O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=，AD=，则∠CAD的度数是_______.
错误解答：如图2，过O作OE⊥AC于E， 作OF⊥AD于F. 由AO=1，AE=AC=，可求得OE=，∴△OAE是等腰直角三角形，∠OAE=45°. 由AO=1，AF=AD=，可求得OF=，∴△OAF是含30°角的直角三角形，∠OAF=30°. ∴∠CAD=∠OAE ∠OAF=45° 30°=75°.
【错因诊断】 上
面的解答的过程有理有据，没有错误，只是在画图时只画了AC、AD在圆心两侧的情况，漏掉了AC、AD在圆心同侧的情况，如图3所示，此时可求得∠CAD=∠OAE-∠OAF=45°-30°=15°.
正确解答：∠CAD的度数是75°或15°.
【点评】本题考查圆周角的计算和垂径定理的应用.在原题没有图形的情况下，应特别注意画图要符合题意，当图形不确定时，要分类讨论.在遇到弦有关的计算问题时，常常要应用垂径定理，过圆心作弦的垂线段是常用的辅助线之一.
四、 推理无据
例4 以等腰三角形ABC的底边BC的中点O为圆心，作一圆与腰AB相切于点D. 求证：AC与☉O也相切.
错误解答：如图4，连接OD、OE. ∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵OB=OC，OD=OE，∴△BOD≌△COE，∴∠ODB=∠OEC.
∵AB是☉O的切线，∴∠ODB=90°，
∴∠OEC=90°，∴AC与☉O也相切.
【错因诊断】 这种证法仅凭直观认为☉O与AC有公共点，且公共点为E，则OE为☉O的半径，因此就错误地应用切线的判定定理来论证. 实际上，在证得☉O与AC相切之前，不能确定☉O与AC的位置关系，亦即不能确定☉O与AC有无交点、有几个交点，更不知交点在何处，所以断定E为交点、OE为半径是毫无根据的. 这里犯了依赖直观，推理无据的错误.
正确解答：方法1：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点. ∵AB切☉O于D，∴OD⊥AB， ∴∠ODB=∠OEC=90°.
又∵O是BC的中点，∴OB=OC. ∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE， ∴OE=OD，即OE是☉O的半径， ∴AC与☉O相切.
方法2：连接AO，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C.
∵ AB=AC， OB=OC，∴△OAB≌△OAC，∴ ∠OAB=∠OAC，即OA为∠BAC的角平分线，∴O点到AB、AC两边的距离相等.
∵圆O与AB相切，∴圆O也与AC相切.
【点评】本题考查切线的判定，要证明已知直线是圆的切线时，有两种情况：（1） 如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径，简称为“作半径，证垂直”；（2） 如果已知直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，简称为“作垂直，证相等”. 在解题中，要结合具体情况选择上述两种判定方法.
五、 知识混淆
例5 如果圆锥的底面半径是4，母线的长是16，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是______.
错误解答：这个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为：2π×4=8π，由弧长公式l=，得n=== 180，即这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是180°.
【错因诊断】弧长公式是l=，错解误用为l=，这是知识混淆造成的错误. 正确解答：这个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为：2π×4=8π，由弧长公式l=，得 n===90，即这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是90°.
【点评】本题考查弧长公式的应用，要注意弧长公式与扇形面积公式的区别，它们的分子上分别是R和R2，分母分别是180和360.
六、 理解偏差
例6 如图5，已知PA、PB是☉O的切线，A、B是切点，其中PO=4，∠APB=60°，求阴影部分的周长.
错误解答：如图5，连接OA、OB.
∵PA、PB是☉O的切线，A、B是切点，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=30°. 在Rt△PAO中，AO=PO=2，PA===2，∴PB=2.
∴阴影部分的周长=PA PB=4.
【错因诊断】图形的周长是指围成该图形所有线条长度的和.本题中阴影部分的周长应包括线段PA、PB和的长.错解忽略了阴影部分的弧线部分，即的长.这是理解偏差造成的错误.
正确解答：如图5，连接OA、OB，∵PA、PB是☉O的切线，A、B是切点，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠APB=30°，∠AOP=∠BOP=60°. 在Rt△PAO中，AO=PO=2，PA===2，∴PB=2.
∵∠AOB=120°，∴的长== π，∴阴影部分的周长=PA PB =2 2 π=
4
π.
【点评】本题考查求切线长和弧长有关的计算，正确理解阴影部分的周长，熟练进行相关计算是关键.这类问题难度不大，解题时概念清楚，计算正确即可.
小试身手
1. 一条弦分圆为1∶4的两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______.
2. 已知☉O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=42°，则∠BAC=______度.
3. 在同圆中，所对圆心角的度数小于180°，且>，那么弦AB和弦CD的大小关系是（ ）.
A. AB>CD B. AB=CD
C. AB
5. 如图7，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12 cm，高BC=8 cm，求这个零件的表面积. （结果保留π）