球与几何体的关系是近年高考经常考查的内容，而且是作为中等难度以上的试题出现.高三学生对球与正方体、球与正四面体、球与长方体、球与长方体“切下的一角”形成的三棱锥的关系有所认知，都是通过还原正方体、长方体来解决，但普通棱锥与球的关系难度就比较大，而高考试题中却屡屡出现，学生找不到正确的解题方法，其原因是受特殊题型的特殊解法束缚，看到外接球的问题，就想补正方体、长方体.事实上，很多棱锥补不出长方体.下面举例说明以外心索球心的方法.
　　例1 如图1，△ABC是边长为2正三角形，PC⊥平面ABC，PC=2，求外接球的半径.
　　解：在正△ABC中，作AC、AB的中垂线交于H，过H作平面ABC的垂线，则球心O在此垂线上，OP=OC即可，所以OH=12PC=1.所以OC2=OH2 HC2.因此R2=1 （233）2=73，即R=213.
　　例2 如图2，△ABC是边长为2正三角形，平面PAC⊥平面ABC，PC=PA=2，求外接球的半径.
　　解：在正△ABC中，外心为G，作GF⊥平面ABC，使GF=PD，O为球心，OA=OP=R，OG=OA2-GA2=R2-43，
　　OF=OP2-PF2=R2-13，OG OF=FG=PD，所以R2-43 R2-13=3，
　　图3
　　R=153.
　　例3 如图3，PA，PB，PC两两垂直.若PA=1，PB=3，PC=2，求外接球的半径.
　　解：因为AP⊥PB，所以△APB的外心在斜边中点H处，过H作平面APB的垂线，则球心O在此垂线上，OP=OC即可，所以OH=12PC=1.所以OP2=OH2 PH2.因此R2=1 （102）2=72，即R=142.
　　例4 如图4，PA⊥PB，平面PAC⊥平面PAB，PA=PB=PC=AC=2，求外接球的半径.
　　解：过底面外心H作垂線，则球心O在此垂线上，OP=OC即可，作CF⊥HO，OH2=OP2-PH2，OF2=OC2-CF2，OH=R2-2，OF=R2-1.因为OH OF=HF=CE=3，所以R2-2 R2-1=3，R=213.
　　例5 如图5，AB⊥BC，PA=PB=PC=AC=2，求外接球的半径.
　　解：底面△ABC的外心为斜边中点H，易证PH⊥平面ABC.所以球心在PH上.所以OA2=OH2 AH2.所以R2=（3-R）2 1.所以R=233.
　　例6 图6，在△ABC中，AC=AB=4，BC=2，PA⊥平面ABC，PA=2，求外接球的半径.
　　解：参看底面ABC的平面图形，底面外接圆圆心为H，则HC2=CD2 （AD-AH）2.所以r2=1 （15-r）2，r=81515.球心在平面ABC垂线上，OA=OP即可，OA2=OH2 AH2，所以R2=1 （81515）2，R=7915.
　　总之，“以外心索球心”这种方法可以解决很多问题.原则上，只要找到底面的外心，就能找到球心，然后用勾股定理即可.