线性回归问题是新课标中增加的内容之一，具有很强的现实背景和较强的实践性。涉及线性回归问题的试题往往贴近生活实际，富有时代气息，已经成为近几年高考的一大亮点，从近几年的高考试题来看，高考对相关性和最小二乘估计的考查有加强趋势，主要是以散点图与相关关系、相关系数、回归方程的建立与应用为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择、填空题，也有解答题出现，这部分题目往往思路简单，方法单一，计算繁琐。
　　一、散点图与相关关系的判断
　　例1 （2013福建）已知x与y之间的几组数据如下表：
　　x 1 2 3 4 5 6
　　y 0 2 1 3 3 4
　　假设根据上表数据所得线性回归直线方程y^ =b^ x+a^ ，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（ ）
　　A.b^ >b′，a^ >a′ B.b^ >b′，a^ 　　C.b^ a′ D.b^ 　　分析：在直角坐标系下做出散点图，根据散点图分析两个变量是否存在相关关系，并作出回归直线1，再作出过点（1，0）和（2，2）的直线2，比较两条直线的斜率和截距可得答案.
　　解析：根据表中六组数据画出散点图，并作出回归直线，如实线所示：
　　再作出过（1，0）和（2，2）直线，如图中虚线所示。
　　显然实线斜率小，纵截距大。即：b^ a′.选C.
　　评注：①散点图直观反映了两变量的成对观测值之间存在的某种关系，利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系.
　　②本题也可有最小二乘法计算公式得：b^ =57，a^ =y-b^ x=136-57×72=-13，再由直线的两点式方程可得b′=2，a′=-2，易得C为正确答案。
　　二、相关系数的大小与相关性强弱的关系.
　　例2 （2013湖北卷）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
　　① y与x负相关且y^=2.347x-6.423；② y与x负相关且y^=-3.476x+5.648；③y与x正相关且y^=5.437x+8.493；④y与x正相关且y^=-4.326x-4.578.
　　其中一定不正确的结论的序号是（ ）
　　A.①② B.②③ C.③④ D.①④
　　分析：因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越高，r为正时正相关，r为负时负相关，r与k符号相同，故k>0时正相关，k<0时负相关.
　　解析： ①中，回归方程中x的系数为正，不是负相关；④方程中的x的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确.
　　评注：r的符号反映变量的变化方向，r的大小反映变量的线性相关程度。由相关系数和回归直线的斜率计算公式： r=i=1nxiyi-nxy（i=1nx2i-nx2）（i=1ny2i-ny2），以及最小二乘法中斜率计算公式k=b=i=1nxiyi-n x yi=1nx2i-n x2，得相关系数r和回归直线斜率k 的符号相同，即当r>0时k>0，直线斜率为正，表示两个变量变化方向相同，此时两个变量正相关；当r<0时k<0，直线斜率为负，表示两个变量变化方向相反，此时两个变量负相关.|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；当|r|接近0 时，表明两个变量间几乎不存在线性相关关系.
　　结束语：现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系。借助散点图和最小二乘法，从不同角度描述这种相关关系，从而达到对实际情况的正确估计和预测。认真体会其中蕴含的数学思想，方能悟出数学的应用价值。
　　（陕西省洋县中学）