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一、韩信点兵
公元前209年，韩信在项羽手下不被重用，愤然出逃，投奔刘邦。刘邦只让他当了个治粟都尉，管理粮库。
一天清晨，韩信视察粮库，发现粮兵们游手好闲，喝酒、打牌、睡觉，他立刻传来粮库的小队长责问道：“为何不出早操？”
小队长连忙击鼓号令所有粮兵出操。见他们懒散、拖拉地来到练兵场，韩信心中不悦，怒道：“清点人数，不出操者，军法处置！”
“报告都尉，粮兵共2345人，现已到齐，请都尉下令。”
韩信手挥令旗，粮兵成三路纵队排列，多出2人；韩信又挥令旗，粮兵成五路纵队排列，多出3人；韩信再一挥令旗，粮兵成七路纵队排列，多出2人。
韩信心中默默一算，说：“今天出操的粮兵是2333人，有12人未到！”
韩信为了整顿军纪，把那12个没出操的士兵军法处置了。粮兵们见韩信如此厉害，再也不敢偷懒了。
出操结束后，小队长问道：“都尉，您没数，如何知道士兵的人数？”
韩信笑道：“一个数除以3余2，除以7也余2，那么这个数除以21也余2，所以这个数可以看成21 2。我们会发现当 =1、6、11、16、21……时都满足除以5余3，而且是每隔5就满足， 的末尾是1或6。假设21 2=2345，求出 =111.6， 取整数为111，得21×111 2=2333人。”
二、攻打城池
刘邦听闻韩信点兵，大为赞赏，封其为大将，并与他商讨定国安邦的良策。
韩信直言道：“如今只有楚霸王项羽能和大王争天下，灭项羽就可一统天下。”
刘邦面露难色，说道：“项羽兵强马壮，如何胜他？”
韩信笑道：“兵不厌诈，我们来个明修栈道，暗渡陈仓。”
于是，韩信命樊哙、周勃等人率军去修复栈道，麻痹敌军。而他带领主力翻越秦岭，袭击陈仓。
陈仓这个城的城墙特别高，易守难攻。攻城受挫，士兵们垂头丧气地回报：“报告韩大将军，城墙太高，攻城受阻。”
韩信笑道：“城墙虽高，我们可以做和城墙一样高的云梯，然后爬上去。”
这时已近傍晚，城墙长长的影子已伸到了韩信脚下，韩信拔出宝剑插在地上，测量得到宝剑的影子长度正好是4米。接着他对士兵说：“量一下城墙的影子长度。”
“报告大将军，城墙的影子长度是40米。”
韩信自信地笑道：“有夜幕的保护，攻破10米高的城墙不是问题！”
士兵有些不解了，说道：“将军如何知道城墙高10米？”
韩信笑道：“当城墙的影子长度是40米时，宝剑的影子长度正好是4米，而宝剑的实际长度是1米，也就是说影子长度正好是实际长度的4倍，所以40÷4=10米，这便是城墙的实际高度。”
深夜，韩信率兵一举拿下了陈仓。
三、将军饮马
韩信攻下了陈仓，手下的将军们顺手搜刮了许多金银财宝。韩信决定想个计策，把这些不义之财归还给当地的贫苦百姓。
一天，韩信宴请所有将军，大家正喝得尽兴，传令兵跑了进来：“报告大将军，汉王在十里外的帐篷传各位将军前去商讨国事。”
当所有将军翻身上马后，韩信说道：“各位将军，我们来场比赛如何？”
将军们问：“比什么？”
韩信用宝剑在沙地上画了一个图，说：“我们来个‘将军饮马’，我们先到河边饮马，再到汉王刘邦处，谁第一个到，所有的财宝都归他。将军们的战马都是上等的好马，比赛绝对公平。”
“驾！”十几匹战马如箭一般朝河岸飞奔。
当将军们一个个来到汉王刘邦的帐篷时，发现韩信正与刘邦品茶谈话。
“韩将军，您没去饮马？”将军们疑惑地问道。
韩信笑道：“汉王与我喝的就是我带来的河水。”
刘邦问：“听说将军们此次搜刮了许多财宝，是不是从老百姓那儿抢来的？”
将军们听了大汗淋漓，韩信接过话：“没有这回事，将军们得到的财宝全是收缴了乡绅恶霸的不义之财，我们刚才还谈到要把这些财宝分发给贫苦百姓呢。”
将军们连连点头：“对，对。”
会后，刘邦笑着问道：“韩将军如何能得第一呢？”
韩信画图并解释道：“汉王请看，先到河边饮马，再到您的帐篷。基于对称原理，我走的黑色路线相当于两点之间的线段，而将军们所走的路线相当于折线。两点之间线段最短，自然我是最快的。”
刘邦笑道：“韩大将军的才智让这帮小将输得心服口服啊。”
四、四面楚歌
一天中午，韩信正在练兵场上排兵布阵，准备一举打败项羽，刘邦特意前来观摩。
看过阵形，刘邦不解地问道：“这方块阵如何能困住楚霸王项羽？”
韩信自信地解释道：“这阵叫‘四面楚歌’。汉王，请看方块阵的变化。”说完，他挥舞令旗。方块阵开始变换：
“原先每边只有1000人，现在总人数不变，可每边人数升至1100人、1200人……最多每边可达1700人。” 韩信继续解释道，“此阵的奥妙在于，被围阵中，不管你从哪个方向突围，我都可以根据需要改变阵型。”
这时士兵们唱道：“人心皆背楚，天下已属刘；韩信屯垓下，要斩霸王头。”
刘邦十分开心，称赞道：“有此阵，项羽必亡！”
同年12月，刘邦率领韩信、刘贾、彭越、英布等各路汉军约40万人与项羽在垓下决战，一举打败了楚霸王项羽，迫使其自刎于乌江。
公元前209年，韩信在项羽手下不被重用，愤然出逃，投奔刘邦。刘邦只让他当了个治粟都尉，管理粮库。
一天清晨，韩信视察粮库，发现粮兵们游手好闲，喝酒、打牌、睡觉，他立刻传来粮库的小队长责问道：“为何不出早操？”
小队长连忙击鼓号令所有粮兵出操。见他们懒散、拖拉地来到练兵场，韩信心中不悦，怒道：“清点人数，不出操者，军法处置！”
“报告都尉，粮兵共2345人，现已到齐，请都尉下令。”
韩信手挥令旗，粮兵成三路纵队排列，多出2人；韩信又挥令旗，粮兵成五路纵队排列，多出3人；韩信再一挥令旗，粮兵成七路纵队排列，多出2人。
韩信心中默默一算，说：“今天出操的粮兵是2333人，有12人未到！”
韩信为了整顿军纪，把那12个没出操的士兵军法处置了。粮兵们见韩信如此厉害，再也不敢偷懒了。
出操结束后，小队长问道：“都尉，您没数，如何知道士兵的人数？”
韩信笑道：“一个数除以3余2，除以7也余2，那么这个数除以21也余2，所以这个数可以看成21 2。我们会发现当 =1、6、11、16、21……时都满足除以5余3，而且是每隔5就满足， 的末尾是1或6。假设21 2=2345，求出 =111.6， 取整数为111，得21×111 2=2333人。”
二、攻打城池
刘邦听闻韩信点兵，大为赞赏，封其为大将，并与他商讨定国安邦的良策。
韩信直言道：“如今只有楚霸王项羽能和大王争天下，灭项羽就可一统天下。”
刘邦面露难色，说道：“项羽兵强马壮，如何胜他？”
韩信笑道：“兵不厌诈，我们来个明修栈道，暗渡陈仓。”
于是，韩信命樊哙、周勃等人率军去修复栈道，麻痹敌军。而他带领主力翻越秦岭，袭击陈仓。
陈仓这个城的城墙特别高，易守难攻。攻城受挫，士兵们垂头丧气地回报：“报告韩大将军，城墙太高，攻城受阻。”
韩信笑道：“城墙虽高，我们可以做和城墙一样高的云梯，然后爬上去。”
这时已近傍晚，城墙长长的影子已伸到了韩信脚下，韩信拔出宝剑插在地上，测量得到宝剑的影子长度正好是4米。接着他对士兵说：“量一下城墙的影子长度。”
“报告大将军，城墙的影子长度是40米。”
韩信自信地笑道：“有夜幕的保护，攻破10米高的城墙不是问题！”
士兵有些不解了，说道：“将军如何知道城墙高10米？”
韩信笑道：“当城墙的影子长度是40米时，宝剑的影子长度正好是4米，而宝剑的实际长度是1米，也就是说影子长度正好是实际长度的4倍，所以40÷4=10米，这便是城墙的实际高度。”
深夜，韩信率兵一举拿下了陈仓。
三、将军饮马
韩信攻下了陈仓，手下的将军们顺手搜刮了许多金银财宝。韩信决定想个计策，把这些不义之财归还给当地的贫苦百姓。
一天，韩信宴请所有将军，大家正喝得尽兴，传令兵跑了进来：“报告大将军，汉王在十里外的帐篷传各位将军前去商讨国事。”
当所有将军翻身上马后，韩信说道：“各位将军，我们来场比赛如何？”
将军们问：“比什么？”
韩信用宝剑在沙地上画了一个图，说：“我们来个‘将军饮马’，我们先到河边饮马，再到汉王刘邦处，谁第一个到，所有的财宝都归他。将军们的战马都是上等的好马，比赛绝对公平。”
“驾！”十几匹战马如箭一般朝河岸飞奔。
当将军们一个个来到汉王刘邦的帐篷时，发现韩信正与刘邦品茶谈话。
“韩将军，您没去饮马？”将军们疑惑地问道。
韩信笑道：“汉王与我喝的就是我带来的河水。”
刘邦问：“听说将军们此次搜刮了许多财宝，是不是从老百姓那儿抢来的？”
将军们听了大汗淋漓，韩信接过话：“没有这回事，将军们得到的财宝全是收缴了乡绅恶霸的不义之财，我们刚才还谈到要把这些财宝分发给贫苦百姓呢。”
将军们连连点头：“对，对。”
会后，刘邦笑着问道：“韩将军如何能得第一呢？”
韩信画图并解释道：“汉王请看，先到河边饮马，再到您的帐篷。基于对称原理，我走的黑色路线相当于两点之间的线段，而将军们所走的路线相当于折线。两点之间线段最短，自然我是最快的。”
刘邦笑道：“韩大将军的才智让这帮小将输得心服口服啊。”
四、四面楚歌
一天中午，韩信正在练兵场上排兵布阵，准备一举打败项羽，刘邦特意前来观摩。
看过阵形，刘邦不解地问道：“这方块阵如何能困住楚霸王项羽？”
韩信自信地解释道：“这阵叫‘四面楚歌’。汉王，请看方块阵的变化。”说完，他挥舞令旗。方块阵开始变换：
“原先每边只有1000人，现在总人数不变，可每边人数升至1100人、1200人……最多每边可达1700人。” 韩信继续解释道，“此阵的奥妙在于，被围阵中，不管你从哪个方向突围，我都可以根据需要改变阵型。”
这时士兵们唱道：“人心皆背楚，天下已属刘；韩信屯垓下，要斩霸王头。”
刘邦十分开心，称赞道：“有此阵，项羽必亡！”
同年12月，刘邦率领韩信、刘贾、彭越、英布等各路汉军约40万人与项羽在垓下决战，一举打败了楚霸王项羽，迫使其自刎于乌江。