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《数学课程标准》指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”.课标还要求通过对数学的探索过程,掌握基本的识图、作图等技能.尺规作图是有效培养学生数学思维与动手操作的重要途径和方法.现列举2011年部分中考试题予以说明．
1 线段垂直平分线的作法与运用
例1 (珠海市)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)求作：△ABC的一条中位线,与AB交于D点,与BC交于E点,(保留作图痕迹不写作法)
(2)若AC=6,AB=10,连接CD,则DE=_________．CD=_________．
解 作BC的垂直平分线与AB交于D点,与BC交于E点,线段DE即为所求；显然DE=3,CD=5．
例2 (扬州市)已知,如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
(1)以AB边上一点O为圆心,过A,D两点作⊙O(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由；
(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E,AB=6,BD=23,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积.(结果保留根号和π)
解 (1)作AD的垂直平分线交AB于点O,O为圆心,OA为半径作圆,则有BC是⊙O的切线．
连结OD,因为AD平分∠BAC,所以∠DAC=∠DAB．因为OA=OD,所以∠ODA=∠DAB,所以∠DAC=∠ODA,所以OD∥AC,所以∠ODB=∠C．因为∠C=90° ,所以∠ODB=90°,即OD⊥BC．
因为OD是⊙O的半径,所以 BC是⊙O的切线．
(2) 如图2,连结DE,根据勾股定理易求得⊙O的半径为2,从而所求面积为S△BOD-S扇形DOE,答案为23-2[]3π．评析 作线段的垂直平分线是课标要求的基本作图,例1是简单的线段垂直平分线的作法与运用,例2把线段垂直平分线的作法、性质与圆相结合,体现了线段垂直平分线
的简洁性与圆的特殊性质的有机融合,值得注意的是：证明切线时,务必分清“连接半径”和“作垂线”的区别．
2 利用基本作图作三角形
例3 (重庆潼南)画△ABC,使其两边为已知线段a、b,夹角为α．
(要求：用尺规作图,写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法)．
解 已知：线段a、b、角α.
求作：△ABC使边BC=a,AC= b,∠C=α.
画图如图3所示,再连接AB即得所求的△ABC.
例4 (青岛市) 已知：如图4,线段a和h．
求作：△ABC,使AB=AC,BC=a,且BC边上的高AD=h． 结论：
解 如图5所示： 结论：略．
评析 利用基本作图作三角形是课标对尺规作图的具体要求,共作四类三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.例3、例4为其中两类,都是基本作图的合成与运用,是课标要求掌握,应知应会的．
3 利用尺规作图进行设计
例5 (重庆市)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半,A、B、C的位置如图8所示.请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置.(要求：不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)
解 如图6所示.
例6 (重庆綦江)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上,地理位置如图7),请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求: 写出已知、求作；不写作法,保留作图痕迹．
解 已知：A、B、C三点不在同一直线上．
求作：一点P,使PA=PB=PC. (或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)
评析 课标要求的四种基本作图,看似简单用起来灵活.例5、例6就是线段垂直平分线的作法及其性质把实际问题数学化以后的具体应用,不失传统数学教学中最常见的经典题型．
4 利用尺规作图确定圆心
例7 (兰州市)如图8,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
(1)请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系；
②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法,保留作图痕迹),并连结AD、CD．
(2)请在(1)的基础上,完成下列问题：
①写出点的坐标：C_________、D_________；
②⊙D的半径=_________(结果保留根号)；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面面积为_________(结果保留π)；
④若E(7,0),试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．
解 (1)如图8.
(2)① C(6,2),D(2,0);②25;③5[]4π.
④相切.理由：因为CD=25,CE=5,DE=5,
所以CD2+CE2=25=DE2,所以∠DCE=90°,即CE⊥CD,所以CE与⊙D相切．
例8 (山西省)如图9,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
(1)实验与操作 利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)．
①作△ABC的外接圆,圆心为O；
②以线段AC为一边,在AC的右侧作等边△ACD；
③连接BD,交⊙O于点E,连接AE；
(2)综合运用 在你所作的图中,若AB=4,BC=2,则
①AD与⊙O的位置关系是_________．
②线段AE的长为_________．
解 (1)如图15所示.
(2)①相切;②4721.
评析 确定圆心与方案设计类问题一样也是线段垂直平分线的运用,当作图与圆相结合时,问题往往向纵深方面延伸,例7、例8与例2都体现了尺规作图与应用一定的综合性．
5 旋转与作图
例9 (威海市)我们学习过：在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫旋转中心．
(1)如图10,△ABC≌△DEF,△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能,请用直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由．
(2)如图11,△ABC≌△MNK,△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能,请用直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由．
(保留必要的作图痕迹)
解 (1)能,如图10点O1就是所求作的旋转中心．
(2)能,如图11点O2就是所求作的旋转中心．
评析 轴对称、中心对称与尺规作图密切相关,图形变换及其变换的性质通过尺规作图呈现出来,显得直观、清晰、明了．
6 在翻转中作图
例10 (无锡市)如图12,等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60°.正方形ABCD的边长为1,它的一边AD在MN上,且顶点A与M重合．
现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进
行翻滚,翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
(1)请在所给的图中,用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
解 (1)如图12所示．
(2)S=2［1[]4π•12+1[]4π•(2)2+1+150[]360π•12］=7π[]3+2．
评析 尺规作图运用于运动变化着的图形中时,就显得抽象些了,由题意点A绕点D翻滚,再绕点C翻滚,然后绕点B翻滚……,根据半径分别为1、2、1……,翻转角分别为90°、90°、150°……,从而画得图形.正确画出图形面积就容易求了．
7 作一个角等于已知角运用于新定义
例11 (南京市)如图13①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点．
(1)如图13②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC＞∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点．
(2)在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C．
①如图13③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数．
解 (1)在Rt △ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中线,所以CD=1[]2AB,所以CD=BD．
所以∠BCE=∠ABC.因为BE⊥CD,所以∠BEC=90°,所以∠BEC=∠ACB.所以△BCE∽△ABC．
所以E是△ABC的自相似点.
(2)①作图略.
作法如下：(ⅰ)在∠ABC内,作∠CBD=∠A；
(ⅱ)在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC,根据P为△ABC的内心和自相似点,可以求得该三角形三个内角的度数分别为180°[]7、360°[]7、720°[]7．
评析 在∠ABC内,作∠CBD=∠A；在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC；BD交CE于点P.不仅是作一个角等于已知角的具体运用,更是对题意的正确理解——从条件中分析获取正确的信息．
8 生成性作图
例12 (淄博市)如图14左,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的一点,BD>CD,将△ABC沿AD剪开,拼成如图22中间的四边形ABDC′．
(1)四边形ABDC′具有什么特点？
(2)请同学们在图14右中,用尺规作一个以MN,NP为邻边的四边形MNPQ,使四边形MNPQ具有上述特点(要求：写出作法,但不要求证明)．
解 (1)四边形ABDC′中,AB=DC′,∠B=∠C′(或四边形ABDC′中,一组对边相等,一组对角相等)．
(2)作法：①延长NP；
②以点M为圆心,MN为半径画弧,交NP的延长线于点G；
③以点P为圆心,MN为半径画弧,以点M为圆心,PG为半径画弧,两弧交于点Q；
④连接MQ,PQ；
⑤四边形MNPQ是满足条件的四边形,如图15．
例13 (新疆)如图16,在△ABC中,∠A=90°．
(1)用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1(保留作图痕迹)；
(2)若AB=3,BC=5,求tan AB1C1．
解 (1)答案如图16所示.
(2)根据旋转前后的图形全等,易求得tan∠AB1C1=tan∠ABC=ACAB=43．
评析 学习知识是为了运用,例12、例13把基本的、简单的作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,
作角的平分线应用于问题解决之中,体现了基本的、简单的往往是重要的,复杂的、综合的问题可以转化为简单的、基本的问题来解决．
初中《数学课程标准》对“尺规作图”的要求：①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线.②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作等腰三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作三角形.③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.④了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明).以上试题的命制体现了对课标的准确把握和正确理解,对数学教学起着导向性作用,有利于培养学生分析问题、解决问题的能力以及应用数学的意识．
作者简介：庞彦福,安徽临泉人,1962年8月生,中学高级教师.主要从事初中数学教学与研究.在《中国教育报》等报刊发表文章30多篇,编写和参与编写论著20余部,并参与沪科版课标数学教科书的编写与修订.胡德林，重庆开县人，1973年2月生，中学一级．主要从事中学数学教学、考试评价及其研究．参与多个省市课题研究．多篇论文在省市评比中获奖．
1 线段垂直平分线的作法与运用
例1 (珠海市)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)求作：△ABC的一条中位线,与AB交于D点,与BC交于E点,(保留作图痕迹不写作法)
(2)若AC=6,AB=10,连接CD,则DE=_________．CD=_________．
解 作BC的垂直平分线与AB交于D点,与BC交于E点,线段DE即为所求；显然DE=3,CD=5．
例2 (扬州市)已知,如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
(1)以AB边上一点O为圆心,过A,D两点作⊙O(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由；
(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E,AB=6,BD=23,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积.(结果保留根号和π)
解 (1)作AD的垂直平分线交AB于点O,O为圆心,OA为半径作圆,则有BC是⊙O的切线．
连结OD,因为AD平分∠BAC,所以∠DAC=∠DAB．因为OA=OD,所以∠ODA=∠DAB,所以∠DAC=∠ODA,所以OD∥AC,所以∠ODB=∠C．因为∠C=90° ,所以∠ODB=90°,即OD⊥BC．
因为OD是⊙O的半径,所以 BC是⊙O的切线．
(2) 如图2,连结DE,根据勾股定理易求得⊙O的半径为2,从而所求面积为S△BOD-S扇形DOE,答案为23-2[]3π．评析 作线段的垂直平分线是课标要求的基本作图,例1是简单的线段垂直平分线的作法与运用,例2把线段垂直平分线的作法、性质与圆相结合,体现了线段垂直平分线
的简洁性与圆的特殊性质的有机融合,值得注意的是：证明切线时,务必分清“连接半径”和“作垂线”的区别．
2 利用基本作图作三角形
例3 (重庆潼南)画△ABC,使其两边为已知线段a、b,夹角为α．
(要求：用尺规作图,写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法)．
解 已知：线段a、b、角α.
求作：△ABC使边BC=a,AC= b,∠C=α.
画图如图3所示,再连接AB即得所求的△ABC.
例4 (青岛市) 已知：如图4,线段a和h．
求作：△ABC,使AB=AC,BC=a,且BC边上的高AD=h． 结论：
解 如图5所示： 结论：略．
评析 利用基本作图作三角形是课标对尺规作图的具体要求,共作四类三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.例3、例4为其中两类,都是基本作图的合成与运用,是课标要求掌握,应知应会的．
3 利用尺规作图进行设计
例5 (重庆市)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半,A、B、C的位置如图8所示.请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置.(要求：不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)
解 如图6所示.
例6 (重庆綦江)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上,地理位置如图7),请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求: 写出已知、求作；不写作法,保留作图痕迹．
解 已知：A、B、C三点不在同一直线上．
求作：一点P,使PA=PB=PC. (或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)
评析 课标要求的四种基本作图,看似简单用起来灵活.例5、例6就是线段垂直平分线的作法及其性质把实际问题数学化以后的具体应用,不失传统数学教学中最常见的经典题型．
4 利用尺规作图确定圆心
例7 (兰州市)如图8,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
(1)请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系；
②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法,保留作图痕迹),并连结AD、CD．
(2)请在(1)的基础上,完成下列问题：
①写出点的坐标：C_________、D_________；
②⊙D的半径=_________(结果保留根号)；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面面积为_________(结果保留π)；
④若E(7,0),试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．
解 (1)如图8.
(2)① C(6,2),D(2,0);②25;③5[]4π.
④相切.理由：因为CD=25,CE=5,DE=5,
所以CD2+CE2=25=DE2,所以∠DCE=90°,即CE⊥CD,所以CE与⊙D相切．
例8 (山西省)如图9,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
(1)实验与操作 利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)．
①作△ABC的外接圆,圆心为O；
②以线段AC为一边,在AC的右侧作等边△ACD；
③连接BD,交⊙O于点E,连接AE；
(2)综合运用 在你所作的图中,若AB=4,BC=2,则
①AD与⊙O的位置关系是_________．
②线段AE的长为_________．
解 (1)如图15所示.
(2)①相切;②4721.
评析 确定圆心与方案设计类问题一样也是线段垂直平分线的运用,当作图与圆相结合时,问题往往向纵深方面延伸,例7、例8与例2都体现了尺规作图与应用一定的综合性．
5 旋转与作图
例9 (威海市)我们学习过：在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫旋转中心．
(1)如图10,△ABC≌△DEF,△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能,请用直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由．
(2)如图11,△ABC≌△MNK,△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能,请用直尺和圆规画出旋转中心,若不能,试简要说明理由．
(保留必要的作图痕迹)
解 (1)能,如图10点O1就是所求作的旋转中心．
(2)能,如图11点O2就是所求作的旋转中心．
评析 轴对称、中心对称与尺规作图密切相关,图形变换及其变换的性质通过尺规作图呈现出来,显得直观、清晰、明了．
6 在翻转中作图
例10 (无锡市)如图12,等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60°.正方形ABCD的边长为1,它的一边AD在MN上,且顶点A与M重合．
现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进
行翻滚,翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
(1)请在所给的图中,用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
解 (1)如图12所示．
(2)S=2［1[]4π•12+1[]4π•(2)2+1+150[]360π•12］=7π[]3+2．
评析 尺规作图运用于运动变化着的图形中时,就显得抽象些了,由题意点A绕点D翻滚,再绕点C翻滚,然后绕点B翻滚……,根据半径分别为1、2、1……,翻转角分别为90°、90°、150°……,从而画得图形.正确画出图形面积就容易求了．
7 作一个角等于已知角运用于新定义
例11 (南京市)如图13①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点．
(1)如图13②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC＞∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点．
(2)在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C．
①如图13③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数．
解 (1)在Rt △ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中线,所以CD=1[]2AB,所以CD=BD．
所以∠BCE=∠ABC.因为BE⊥CD,所以∠BEC=90°,所以∠BEC=∠ACB.所以△BCE∽△ABC．
所以E是△ABC的自相似点.
(2)①作图略.
作法如下：(ⅰ)在∠ABC内,作∠CBD=∠A；
(ⅱ)在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC,根据P为△ABC的内心和自相似点,可以求得该三角形三个内角的度数分别为180°[]7、360°[]7、720°[]7．
评析 在∠ABC内,作∠CBD=∠A；在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC；BD交CE于点P.不仅是作一个角等于已知角的具体运用,更是对题意的正确理解——从条件中分析获取正确的信息．
8 生成性作图
例12 (淄博市)如图14左,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的一点,BD>CD,将△ABC沿AD剪开,拼成如图22中间的四边形ABDC′．
(1)四边形ABDC′具有什么特点？
(2)请同学们在图14右中,用尺规作一个以MN,NP为邻边的四边形MNPQ,使四边形MNPQ具有上述特点(要求：写出作法,但不要求证明)．
解 (1)四边形ABDC′中,AB=DC′,∠B=∠C′(或四边形ABDC′中,一组对边相等,一组对角相等)．
(2)作法：①延长NP；
②以点M为圆心,MN为半径画弧,交NP的延长线于点G；
③以点P为圆心,MN为半径画弧,以点M为圆心,PG为半径画弧,两弧交于点Q；
④连接MQ,PQ；
⑤四边形MNPQ是满足条件的四边形,如图15．
例13 (新疆)如图16,在△ABC中,∠A=90°．
(1)用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1(保留作图痕迹)；
(2)若AB=3,BC=5,求tan AB1C1．
解 (1)答案如图16所示.
(2)根据旋转前后的图形全等,易求得tan∠AB1C1=tan∠ABC=ACAB=43．
评析 学习知识是为了运用,例12、例13把基本的、简单的作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,
作角的平分线应用于问题解决之中,体现了基本的、简单的往往是重要的,复杂的、综合的问题可以转化为简单的、基本的问题来解决．
初中《数学课程标准》对“尺规作图”的要求：①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线.②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作等腰三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作三角形.③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.④了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明).以上试题的命制体现了对课标的准确把握和正确理解,对数学教学起着导向性作用,有利于培养学生分析问题、解决问题的能力以及应用数学的意识．
作者简介：庞彦福,安徽临泉人,1962年8月生,中学高级教师.主要从事初中数学教学与研究.在《中国教育报》等报刊发表文章30多篇,编写和参与编写论著20余部,并参与沪科版课标数学教科书的编写与修订.胡德林，重庆开县人，1973年2月生，中学一级．主要从事中学数学教学、考试评价及其研究．参与多个省市课题研究．多篇论文在省市评比中获奖．